思想方法训练2分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-∞,4)C.[2,4]D.(2,+∞)答案：B解析：当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c2答案：B解析：在△ABC中,由余弦定理得cosA===,则A=.又b=a,由正弦定理,得sinB=sinA=,则B=或B=.当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p
qD.当a>1时,p>q;当0loga(a2+1),即p>q.当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A.B.C.或D.或答案：C解析：当焦点在x轴上时,=,此时离心率e==;当焦点在y轴上时,=,此时离心率e==,故选C.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=λ·,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线答案：C解析：不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.6.若x>0,且x≠1,则函数y=lgx+logx10的值域为()A.RB.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案：D解析：当x>1时,y=lgx+logx10=lgx+≥2=2;当00,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是.答案：或解析：当a>1时,y=ax在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当01,所以方程|p(x)|=1有两个解,即方程|lnx+x2-6|=1有两个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.11.已知函数f(x)=2asin2x-2asinxcosx+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值.解f(x)=a(1-cos2x)-asin2x+a+b=-2asin+2a+b. x∈,∴2x+∈,∴-≤sin≤1.因此,由f(x)的值域为[-5,1],可得或解得或12.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+lnx).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解(1)由已知x>0,f'(x)=x-...
