高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.5 三个正数的算术—几何平均不等式（一）课后导练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

1.1.5三个正数的算术—几何平均不等式（一）课后导练基础达标1当x>0时,求y=x2+x2的最小值.解析: y=x2+x1+x1≥3,且能取“=”,∴y的最小值为3.答案:3.2在边长为a的正方形铁皮的四个角上剪去同样大小的四个小正方形(如图),然后制成一个长方体容器,则制成的容器的体积的最大值是()A.273aB.2723aC.2743aD.2783a解析:设剪下的小正方形边长为x,易见容器的容积是V=(a-2x)2·x(00,且p3+q3=2,求证:p+q≤2.证明: p,q>0,∴p·1·1≤311333p,q·1·1≤311333p.2∴p+q≤3433qp=2.∴原不等式成立.7制造一个能盛放108千克的无盖长方体形水箱,问如何选择尺寸,才能使用料最省?解析:所谓用料最省,是指长方体的表面积最小.设长方体的长,宽为a,b(分米),高为h(分米),易知该水箱的容积为108立方分米,即abh=108,设该水箱的用料面积为S,则S=ab+2(ah+bh)=ab+2ah+2bh≥323)(43)2()2()(3abhbhahab=108,即S≥108(平方分米)(当且仅当ab=2ah=2bh,即a=b=6,h=3时,取“=”).∴水箱的底面是边长为6分米的正方形,高为3分米时,用料最省.8如果a,b,c∈R+,求证:3(33abccba)≥2(abba2).证明:直接运用均值不等式可得33abccba,abba2,也只能得到33abccba≥0,abba2≥0,尚不能证出3(33abccba)≥2(abba2),因此应该对结论式进行分析,变形,寻找突破口.3(33abccba)≥2(abba2)c+ab2≥33abc.①考虑到①式右边的特点,可联想到应用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数,但①式左边形式上是两个数相加,因此把它变为三个数相加,即c+ab2=c+ab+ab≥33ababc=33abc.∴3(33abccba)≥2(abba2).9设a,b,c>0,求证:(a+b+c)(a1+cb93)>27.证明: a>0,b>0,c>0,∴33abccba,即a+b+c≥3·33abc.①3同理,a1+cb93≥3·327abc.②又①②式中的“=”成立的条件不同,即“=”不同时成立,∴①×②,得(a+b+c)(a1+cb93)>3·327abc·3·3abc=27,即(a+b+c)(a1+cb93)>27.拓展探究10试利用2ba≥abab(a,b>0),证明3cba≥3abc(a,b,c>0).证法一: a,b,c>0,∴a+b≥ab2,c+3abc≥26432abcabcc,∴a+b+c+3abcab2+642abc=332363236422)(2abccababcabab.故a+b+c≥3·3abc,即33abccba,其中等号当且仅当a=b,c=3abc且3ab=32c,即a=b=c时成立.证法二:设A=3cba,由a,b,c>0,得A>0,且a+b+c=3A,于是A=)22(21433AcbaAcbaAA4)(21abcAcAabcAab∴A4≥abcA,A≥3abc,即33abccba,等号当且仅当a=b,c=A,且cAab,即a=b=c时成立.备选习题11甲,乙两人同时从A地出发走向B地,甲先用31的时间以速度p行走,再用31的时间以速度q行走,最后用31的时间用速度r行走;乙在前31的路程用速度p行走,中f间31的路程用速4度q行走,最后31的路程用速度r行走(p≠q≠r).问甲,乙两人谁先到达B地,为什么?解析:设A,B两地间的距离为s(s>0).甲从A地到B地所用的时间为t1,乙从A地到B地所用时间为t...