高中数学 黄金100题系列 第75题 抛物线中的基本问题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第75题抛物线中的基本问题I．题源探究·黄金母题【例1】如图，直线抛物线相交于，两点，为抛物线的顶点，求证：．【解析】设点，的坐标分别为．把代入中，得，化简得，解得，．精彩解读【试题来源】人教A版选修2-1P73习题2．4A组T6．【母题评析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的分析问题解决问题的能力．【思路方法】结合一元二次方程韦达定理、两点斜率公式、两直线垂直位置关系的判定等解决问题．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标II】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．【答案】6【命题意图】这类题主要考查抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质等．【考试方向】高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据抛物线的定义求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程等（选择、填空，解答题第一问，常与抛物线性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2）抛物线性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求抛物线中距离或者面积等；（4）求直线与【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，线段FN的长度：．【例2】【2017高考北京卷】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点．【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为；（Ⅱ）详见解析．抛物线相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定抛物线中的弦长、式子的定值问题，确定与抛物线有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求抛物线中的弦长（或其它量）的最值或者范围（解答题第二问）．【难点中心】1．抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2．涉及直线与抛物线的位置关系的问题，只要联立直线与抛物线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量．等于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处理．【解析】试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点的坐标，证明．试题解析：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得．所以抛物线C的方程为．抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为．（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，．由，得．则，．因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为．直线ON的方程为，点B的坐标为．，．故A为线段BM的中点．【例3】【2017高考浙江卷】如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为，由，得AP斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则， ，∴直线AP斜率的取值范围是．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是，因为|PA|==|PQ|=，所以|PA||PQ|=令，因为，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．III．理论基础·解题原理考点一抛物线的定义及其应用平面内与一个定点F和一条直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线...