2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2.1双曲线的简单几何性质高效测评新人教A版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A.B．C.D．解析：由题意，知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.答案：C2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率的值为()A.B．C.D．2解析：由已知得＝，所以，2＝，故＝，即＝，所以e＝.答案：C3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36解析：椭圆4x2＋y2＝64即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，所以a＝6，b2＝12，所以双曲线方程为y2－3x2＝36.答案：A4．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A.B．C.D．解析：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，F1F2＝2c，∴MF1＝＝c，MF2＝2c·tan30°＝c，∴2a＝MF1－MF2＝c－c＝c⇒e＝＝，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点1为F(，0)，则a＝________，b＝________.解析：利用共渐近线方程求解．与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝.则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.答案：126．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．解析：由题意知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)，即c＝，又因为双曲线的离心率为，所以a＝2，故b2＝3，双曲线的方程为－＝1.答案：－＝1三、解答题(每小题10分，共20分)7．根据以下条件，求双曲线的标准方程：(1)过P(3，－)，离心率为；(2)过点P，一条渐近线与直线2x－3y＝10平行．解析：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．∵e＝，∴＝2即a2＝b2.①又过点P(3，－)有：－＝1，②由①②得：a2＝b2＝4，双曲线方程为－＝1，若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．同理有：a2＝b2，①－＝1，②由①②得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．综上，双曲线的标准方程为－＝1.(2)方法一：①若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由已知得渐近线方程为y＝±x，故＝，又P在双曲线上，∴－＝1，可解得a2＝18，b2＝8.∴所求双曲线方程为－＝1.②若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由于易知其渐近线方程为y＝±x，∴＝，又双曲线过点P，所以－＝1，解得a2＝－8，b2＝－18，不合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二：∵易知双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将代入方程，得λ＝2，2故所求方程为－＝1.8．点P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且有2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1的左右两个焦点，求双曲线C1的离心率．解析：∵圆的半径r＝＝c，∴圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径．∴∠F1PF2＝90°.∵2∠PF1F2＝∠PF2F1，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c，故|PF1|＝c，|PF2|＝c，又点P在双曲线上，且在双曲线右支上．∴|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a，∴e＝＝＝＋1.9．(10分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．解析：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1⊥MF2.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.3
