（浙江专用）高考数学大一轮复习 课时13 3.2 导数与函数单调性教师备用题库-人教版高三全册数学试题VIP免费

3.2导数与函数单调性教师专用真题精编(2018天津,20,14分)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1.(1)求函数h(x)=f(x)-xlna的单调区间;(2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-2lnlnalna;(3)证明当a≥e1e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.解析本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.(1)由已知,h(x)=ax-xlna,有h'(x)=axlna-lna.令h'(x)=0,解得x=0.由a>1,可知当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表:x(-∞,0)0(0,+∞)h'(x)-0+h(x)↘极小值↗所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).(2)证明:由f'(x)=axlna,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为ax1lna.由g'(x)=1xlna,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为1x2lna.因为这两条切线平行,故有ax1lna=1x2lna,即x2ax1(lna)2=1.两边取以a为底的对数,得logax2+x1+2logalna=0,所以x1+g(x2)=-2lnlnalna.(3)证明:曲线y=f(x)在点(x1,ax1)处的切线l1:y-ax1=ax1lna·(x-x1).曲线y=g(x)在点(x2,logax2)处的切线l2:y-logax2=1x2lna(x-x2).1要证明当a≥e1e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a≥e1e时,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得l1与l2重合.即只需证明当a≥e1e时,方程组{ax1lna=1x2lna,①ax1-x1ax1lna=logax2-1lna,②有解.由①得x2=1ax1(lna)2,代入②,得ax1-x1ax1lna+x1+1lna+2lnlnalna=0.③因此,只需证明当a≥e1e时,关于x1的方程③存在实数解.设函数u(x)=ax-xaxlna+x+1lna+2lnlnalna,即要证明当a≥e1e时,函数y=u(x)存在零点.u'(x)=1-(lna)2xax,可知x∈(-∞,0)时,u'(x)>0;x∈(0,+∞)时,u'(x)单调递减,又u'(0)=1>0,u'(1(lna)2)=1-a1(lna)2<0,故存在唯一的x0,且x0>0,使得u'(x0)=0,即1-(lna)2x0ax0=0.由此可得u(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).因为a≥e1e,故lnlna≥-1,所以u(x0)=ax0-x0ax0lna+x0+1lna+2lnlnalna=1x0(lna)2+x0+2lnlnalna≥2+2lnlnalna≥0.下面证明存在实数t,使得u(t)<0.由(1)可得ax≥1+xlna,当x>1lna时,有2u(x)≤(1+xlna)(1-xlna)+x+1lna+2lnlnalna=-(lna)2x2+x+1+1lna+2lnlnalna,所以存在实数t,使得u(t)<0.因此,当a≥e1e时,存在x1∈(-∞,+∞),使得u(x1)=0.所以,当a≥e1e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.3