高考数学大一轮复习 第十一章 坐标系与参数方程 第69讲 参数方程课时达标 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第69讲参数方程课时达标1．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．解析(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.C1是圆心为(－4,3)，半径为1的圆．C2为中心是原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M.C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝|5cos(θ＋φ)－13|≥.从而当cosθ＝，sinθ＝－时，d取得最小值.2．已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．解析(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ，①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①，得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将代入②，得t2＋5t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义可知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.3．在极坐标系中，圆C的圆心为C，半径为2.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求圆C的极坐标方程；(2)设l与圆的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|＋|PB|.解析(1)在直角坐标系中，圆心为C(1，)，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，即x2＋y2－2x－2y＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝0，即ρ＝4sin.(2)把代入x2＋y2－2x－2y＝0得t2＝4，所以点A，B对应的参数分别为t1＝2，t2＝－2.令＋t＝0得点P对应的参数为t0＝－2.所以|PA|＋|PB|＝|t1－t0|＋|t2－t0|＝|2＋2|＋|－2＋2|＝2＋2＋(－2＋2)＝4.4．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求曲线C与直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝，求实数m的值．解析(1)由得①2＋②2得曲线C的普通方程为x2＋(y－m)2＝1.由x＝1＋t，得t＝x－1，代入y＝4＋t，得y＝4＋2(x－1)，所以直线l的普通方程为y＝2x＋2.(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d＝，所以2＋2＝1，解得m＝3或m＝1.5．(2019·抚顺一模)在直角坐标系xOy中，已知点P(0，)，曲线C的参数方程为(φ为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝.(1)判断点P与直线l的位置关系，说明理由；(2)设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求|PA|·|PB|的值．解析(1)点P在直线l上．理由如下：直线l：2ρcos＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝，所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝，所以点P在直线l上．(2)直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的普通方程为＋＝1.将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得32＋2＝15，所以t2＋2t－8＝0，设两根为t1，t2，所以|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|－8|＝8.6．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．解析直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d＝＝.当s＝时，dmin＝.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取得最小值.