第三章空间向量与立体几何(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段AB的中点坐标和|AB|是()A.，B.，C.，D.，解析：选A.设P(x，y，z)是AB中点，则OP＝(OA＋OB)＝[(3，2，1)＋(1，0，4)]＝，dAB＝|AB|＝＝.2．直三棱柱ABCA1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B等于()A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD.－a＋b－c解析：选D.如图，A1B＝AB－AA1＝CB－CA－AA1＝CB－CA－CC1＝b－a－c.3．平面α的法向量u＝(1，2，－1)，平面β的法向量v＝(λ2，2，8)，若α⊥β，则λ的值是()A．2B．－2C．±2D.不存在解析：选C.α⊥β⇒u⊥v⇒u·v＝0⇒λ2＋4－8＝0⇒λ＝±2.4．在空间四边形ABCD中，若向量AB＝(－3，5，2)，CD＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为()A．(2，3，3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1)D.(－5，2，－1)解析：选B.取AC中点M，连接ME，MF，则ME＝AB＝，MF＝CD＝，所以EF＝MF－ME＝(－2，－3，－3)，故选B.5．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则EF·BA＝()A．1B．－1C.D.－解析：选B.如图所示，EF＝AC，所以EF·BA＝AC·(－AB)＝－×2×2cos60°＝－1，故选B.16．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE垂直的直线是()A．ACB．BDC．A1DD.A1A解析：选B.以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E，所以CE＝，AC＝(1，1，0)，BD＝(－1，1，0)，A1D＝(0，1，－1)，A1A＝(0，0，－1)．显然CE·BD＝－＋0＝0，所以CE⊥BD，即CE⊥BD.7．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为()A．x＝－13，y＝8B．x＝－13，y＝5C．x＝7，y＝5D.x＝7，y＝8解析：选A.因为a∥b且a≠0，所以b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.又因为m，n，p不共面，所以＝＝，所以x＝－13，y＝8.8．已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1·AC的值为()A．－1B．0C．1D.2解析：选C.由于AO1＝AA1＋A1O1＝AA1＋(A1B1＋A1D1)＝AA1＋(AB＋AD)，而AC＝AB＋AD，则AO1·AC＝[AA1＋(AB＋AD)]·(AB＋AD)＝(AB＋AD)2＝(AB2＋AD2)＝1.9．已知直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为()A.B.C.D.2解析：选A.过P点作PH⊥l于H点，则PH＝PA＋AH，由AH∥n，可设AH＝λn＝(λ，0，2λ)．所以PH＝(－1，－1，－1)＋(λ，0，2λ)＝(λ－1，－1，2λ－1)，由PH⊥n，得λ－1＋2(2λ－1)＝0，解得λ＝.所以PH＝.因此点P到l的距离为|PH|＝＝，选A.10．在四棱锥PABCD中，AB＝(4，－2，3)，AD＝(－4，1，0)，AP＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h＝()A．1B．2C．13D.26解析：选B.设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，设y＝4，则n＝，所以cos〈n，AP〉＝＝＝－，所以h＝×2＝2，故选B.11.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足BP＝BA－BC＋BD，则|BP|2的值为()A.B．32C.D.解析：选D.由题可知|BA|＝1，|BC|＝1，|BD|＝.〈BA，BD〉＝45°，〈BD，BC〉＝45°，〈BA，BC〉＝60°.所以|BP|2＝(BA－BC＋BD)2＝2＋2＋2－BA·BC＋BA·BD－BC·BD＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝.12．三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足：A1P＝λA1B1，则直线PN与平面ABC所成角θ取最大值时λ的值为()A.B.C.D.解析：选A.如图，分别以AB，AC，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则P(λ，0，1)，N，PN＝(－λ，，－1)．易得平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)，则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：sinθ＝|cos〈PN，n〉|＝，于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈，所以当sinθ最大时，θ最大．所以当λ＝时，sinθ最大，为，同时直线PN与平面ABC所成的角θ取到最大值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．...
