高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课后导练 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课后导练基础达标1.若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为（）A.1B.-1C.0D.2解析：令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4;令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4=(2-3)4.两式相乘，得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+3)4(2-3)4=1,故选A.2.若(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn中，a3=a12，则自然数n的值为()A.13B.14C.15D.16答案：C3.若(1-2x)2006=a0+a1x+a2x2+…+a2006x2006(x∈R)则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2006）=(用数字作答).解析：取x=0,得a0=1;取x=1,得a0+a1+a2+…+a2006=(1-2)2006=1.故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2006)=2006a0+(a0+a1+a2+…+a2006）=2006+1=2007.4.若(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+cx+1(n∈N*)，且a∶b=3∶1，那么n=____________.解析：a∶b=3nC∶2nC=3∶1，n=11.答案：115.在二项式(axm+bxn)12(a＞0,b＞0,m、n≠0)中有2m+n=0,如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.(1)求它是第几项；(2)求ba的范围.解析：(1)设Tr+1=rC12(axm)12-r·(bxn)r=rC12a12-rbrxm(12-r)+nr为常数项，则有m(12-r)+nr=0,即m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第5项.(2) 第5项又是系数最大的项，∴有)2.()1(,57512484123931248412baCbaCbaCbaC1由①得3948231011122349101112baba, a＞0,b＞0，∴49b≥a,即ba≤49.由②得ba≥58，∴58≤ba≤49.综合运用6.二项式(x-x1)10的展开式，系数最大的项为()A.第六项B.第五项和第六项C.第五项和第七项D.第六项和第七项解析：先求二项展开式的通项为Tr+1=rrxC1010(21x)r=(-1)r·rrxC231010，则此项系数为(-1)r·rC10，故而得到每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为510C，但第六项系数为-510C，显然不是最大的.又因第五项和第七项的系数相等且为410C=610C，再由二项式系数的增减性规律可知，410C即为最大值，因此正确选项为C.答案：C7.已知(x-xa)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A.28B.38C.1或38D.1或28解析：Tr+1=rC8·x8-r·(-ax-1)r=(-a)rrC8·x8-2r.令8-2r=0,∴r=4.∴(-a)448C=1120.∴a=±2.当a=2时，令x=1，则(1-2)8=1.当a=-2时，令x=-1,则(-1-2)8=38答案：C8.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n(n∈N，n＞1),那么(1+y)6的展开式中含yn项的系数是____________.答案:159.已知(22xx)8,则展开式中系数绝对值最大项是第几项?并求出系数最大的项和系数最小的项.解析:设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值.则有2118811882222rrrrrrrrCCCC1281912rrrr5≤r≤6.故系数绝对值最大项是第六项与第七项. T6=(-1)558C(x)3·(22x)5=-1792218x，T7=(-1)668C(x)2·(22x)6=1792x-11，则系数最大项为1792x-11，系数最小项为-1792218x.拓展探究10.已知数列｛an｝是首项为a1,公比为q的等比数列.(1)求和：a102C-a212C+a322C，a103C-a213C+a323C-a433C；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.解析：(1)a102C-a212C+a322C=a102C-a1q12C+a1q222C=a1(1-q)2,a103C-a213C+a323C-a433C=a103C-a1q13C+a1q223C-a1q333C=a1(1-q)3.(2)结论是：a10nC-a21nC+a32nC-…+(-1)nan+1nnC=a1(1-q)n.证明如下：左边=a10nC-a1q1nC+a1q22nC-…+(-1)na1qnnnC=a1［0nC-q1nC+q22nC-…+(-1)nqnnnC］=a1(1-q)n=右边.备选习题11.已知(a+b)n的展开式各项的二项式系数之和为8192，则(a-b)2n的展开式中共有()A.13项B.14项C.26项D.27项解析：由2n=8192得n=13,∴(a-b)2n有27项答案：D312.(经典回放)已知(3132xx)n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是___________.(以数字作答)解析:(3132xx)n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1,即得所有项系数和为2n=128.∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为Tr+1=rC7(32x)7-r·(31x)r=rC7·61163rx,令61163r=5即r=3时，x5项的系数为37C=35.答案：3513.如图所求，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组...