考点规范练29等比数列及其前n项和基础巩固组1.(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12√2.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.3√2fB.3√22fC.12√25fD.12√27f答案D解析设第n个单音的频率为an,由题意,anan-1=12√2(n≥2),所以{an}为等比数列,因为a1=f,所以a8=a1×(12√2)7=12√27f,故选D.2.已知{an}是等比数列,则“a2
b2B.a3b5D.a6>b6答案A解析 a1=4,a4=1,∴d=-1. b1=4,b4=1,又0a5=0,b6=2-43>a6=-1.5.数列{an}满足an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R,且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值等于()A.1B.-1C.12D.21答案D解析由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ(an-2λ).由{an-1}是等比数列,所以2λ=1,得λ=2.6.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a1,S2,5成等差数列,则数列{an}的公比q=.答案2解析由题意得2S2=a1+5,即2(1+q)=1+5,q=2.7.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=√2-1,a5=√2+1,则a32+2a2a6+a3a7=.答案8解析由等比数列性质,得a3a7=a52,a2a6=a3a5,所以a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=(√2-1+√2+1)2=(2√2)2=8.8.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0,则a3=,an=.答案1412n-1解析由题意得a2=12,a3=14.(等比数列的定义、通项公式)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以an+1an=12.故{an}是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12n-1.能力提升组9.已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则a1a2+a2a3+…+anan+1=()A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C.323(1-4-n)D.323(1-2-n)答案C解析由a5=14=a2·q3=2·q3,解得q=12,可知数列{anan+1}仍是等比数列:其首项是a1a2=8,公比为14.所以a1a2+a2a3+…+anan+1=8[1-(14)n]1-14=323(1-4-n).10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设bn=1+log3an,则数列{bn}的前15项和为()A.152B.135C.80D.16答案B2解析由题设可得a2+a4=S4-(a1+a3)=90,即q(a1+a3)=90⇒q=3,所以a1=301+9=3,则an=3·3n-1=3n.所以bn=1+log3(3n)=1+n,则数列{bn}是首项为b1=2,公差为d=1的等差数列.所以S15=2×15+15×142=135,应选B.11.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n,则S2015=()A.22015-1B.21009-3C.3×21007-3D.21008-3答案B解析 a1=1,an+1·an=2n,∴an≠0,a2=2,当n≥2时,an·an-1=2n-1.∴an+1an-1=2n2n-1=2(n≥2).∴数列{an}中奇数项,偶数项分别成等比数列.∴S2015=1-210081-2+2(1-21007)1-2=21009-3.故选B.12.(2018浙江高考)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则()A.a1a3,a2a4D.a1>a3,a2>a4答案B解析设等比数列的公比为q,则a1+a2+a3+a4=a1(1-q4)1-q,a1+a2+a3=a1(1-q3)1-q. a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),∴a1+a2+a3=ea1+a2+a3+a4,即a1(1+q+q2)=ea1(1+q+q2+q3).又a1>1,∴q<0.假设1+q+q2>1,即q+q2>0,解得q<-1(q>0舍去).由a1>1,可知a1(1+q+q2)>1,∴a1(1+q+q2+q3)>0...
