1.3.1推出与充分条件、必要条件(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】|x－2|<1⇔10⇔x>1或x<－2.由于{x|11或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．【答案】A2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1【解析】当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.【答案】A3．已知非零向量a，b，c，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等，∴a·b＝a·cb＝c；反之，b＝c⇒a·b＝a·c.【答案】B4．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．【答案】B5．已知p：x2－x＜0，那么命题p的一个必要非充分条件是()【导学号：25650027】A．0＜x＜1B．－1＜x＜1C.＜x＜D.＜x＜2【解析】x2－x＜0⇔0＜x＜1，运用集合的知识易知．A中0＜x＜1是p的充要条件；B中－1＜x＜1是p的必要非充分条件；C中＜x＜是p的充分非必要条件；D中＜x＜2是p的既不充分也不必要条件．应选B.【答案】B1二、填空题6．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．【解析】“b2＝ac”“a，b，c成等比数列”，例如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”成立．故是必要不充分条件．【答案】必要不充分7．“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上是增函数”是“a＜2”的________条件．【解析】 函数f(x)＝x2－2ax＋3的图象开口向上，对称轴为x＝a，∴当f(x)在[1，＋∞)上为增函数时，a≤1，而a≤1⇒a＜2，a＜2a≤1.∴是充分不必要条件．【答案】充分不必要8．下列三个结论：①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；②若a，b∈R，则“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的充要条件；③x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充要条件．其中正确的结论是________．【解析】对于①，x2>4⇒x>2或x<－2，x3<－8⇒x<－2，∴①正确；对于②，a2＋b2＝0⇔a＝b＝0，∴②正确；对于③，x2＋(y－2)2＝0⇔x＝0且y＝2，x(y－2)＝0⇔x＝0或y＝2，∴③错误，应为充分不必要条件．【答案】①②三、解答题9．已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，求a的值．【解】由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，因为p是q的充要条件，所以a－1＝－2，即a＝－1.10．判断下列各题中p是q的什么条件．(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)p：a1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分不必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(3)由于a1；当b>0时，<1，故若a0，b>0，<1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件．[能力提升]1．“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件是a2＋a＝0，即a＝－1或a＝0，所以a＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．【答案】A2．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4B．a>4C．a≥1D．a>12【解析】要使得“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的一个充分不必要条件．【答案】B3．设函数f(...
