3.1.2空间向量的数乘运算A级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的有()①平面内的任意两个向量都共线；②若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)；③|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；④空间中的任意三个向量都共面．A．1个B．2个C．3个D．4个答案A解析①显然不正确．②不正确，由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb.③正确，a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|\s\up0()⇒a＝b.④不正确，由共面向量的充要条件知可以化成p＝xa＋yb的三个向量共面．2．若空间中任意四点O，A，B，P满足OP＝mOA＋nOB，其中m＋n＝1，则()A．P∈直线ABB．P∉直线ABC．点P可能在直线AB上D．以上都不对答案A解析因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以OP＝(1－n)OA＋nOB，即OP－OA＝n(OB－OA)，即AP＝nAB，所以AP与AB共线．又AP，AB有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.3．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则()A．m，n，p共线B．m与p共线C．n与p共线D．m，n，p共面答案D解析由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．4.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c答案A解析B1M＝B1B＋BM＝A1A＋(BA＋BC)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.5．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，且平面ABC中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量OP的为()1A.OA＋2AB＋2ACB.OA－3AB－2ACC.OA＋3AB－2ACD.OA＋2AB－3AC答案C解析连接AP，∵A，B，C，P四点共面，∴可设AP＝xAB＋yAC，即OP＝OA＋xAB＋yAC，由题图可知x＝3，y＝－2.6．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A，D1C，A1C1是()A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量答案C解析如图所示，因为D1C－D1A＝AC，而AC＝A1C1，所以D1C－D1A＝A1C1，即D1C＝D1A＋A1C1.而D1A与A1C1不共线，所以D1C，D1A，A1C1三向量共面．二、填空题7．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a＝i－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b＝________.答案－13i＋2j＋7k解析4a－3b＝4－3(5i－2j－k)＝2i－4j＋4k－15i＋6j＋3k＝－13i＋2j＋7k.8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.答案解析CD＝CB－DB＝CB－AB＝CB－(CB－CA)＝CB＋CA，又CD＝CA＋λCB，所以λ＝.三、解答题9．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简AG＋BE－AC，并在图中标出化简结果的向量．解∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，2∴GE＝BE.又AC＝(DC－DA)＝DC－DA＝DE－DF＝FE，∴AG＋BE－AC＝AG＋GE－FE＝AF(如图所示)．B级：能力提升练如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD的中点，证明：PB∥平面ACM(用向量法)．证明∵M是PD的中点，∴PM＝MD.又∵PB＝PM＋MA＋AB＝PM＋MA＋AC＋CB＝PM＋MA＋AC＋DA＝PM＋MA＋AC＋MA－MD.∴PB＝2MA＋AC.∴PB，MA，AC共面．又∵PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM.34
