考点规范练43椭圆考点规范练A册第32页基础巩固组1.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案:A解析:由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又 椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为=1.2.椭圆=1的离心率为,则k的值为()A.-21B.21C.-或21D.或21答案:C解析:若a2=9,b2=4+k,则c=,由,即,得k=-;若a2=4+k,b2=9,则c=,由,即,解得k=21.3.若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2>b2B.C.0
0,所以0b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在()A.圆x2+y2=2上B.圆x2+y2=2内C.圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能导学号〚32470517〛答案:B解析:由题意知e=∴=(x1+x2)2-2x1x2=+1=2-<2,∴点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为()A.B.C.D.导学号〚32470518〛答案:B解析:如图,设|AF|=x,则cos∠ABF=.解得x=6,∴∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF1是直角三角形,所以|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,∴.7.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,的值等于.导学号〚32470519〛答案:3解析:在△ABC中,由正弦定理得,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以=3.8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴,y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e=.导学号〚32470520〛答案:解析:因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴,y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是,(0,a).设点M的坐标是(x0,y0),由|AM|=e|AB|,得(*)因为点M在椭圆上,所以=1,将(*)式代入,得=1,整理得,e2+e-1=0,解得e=.9.已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.解:(1)由题意,椭圆C的标准方程为=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+4=+4=+4(0<≤4).因为≥4(0<≤4),当且仅当=4时,等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.10.(2015辽宁大连二十四中高考模拟)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0)与该椭圆交于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,满足4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.解:(1)依题意可得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程是+y2=1.(2)当k变化时,m2为定值,证明如下:由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则① 直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,且4k=k1+k2,∴4k=,得2kx1x2=m(x1+x2).将①代入得m2=.经检验满足Δ>0.导学号〚32470521〛能力提升组11.(2015江西奉新一中模拟)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.导学号〚32470522〛答案:D解析: |PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|·|PF2|≤a2,∴(|PF1|·|PF2|)max=a2.∴由题意知2c2≤a2≤3c2.∴c≤a≤c.∴≤e≤.故椭圆的离心率e的取值范围为.12.设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0
