第二章圆锥曲线与方程测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列曲线中离心率为的是()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:双曲线=1的离心率e=.答案:B2.平面上有两个定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|-|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线”,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当|PA|-|PB|=|AB|时,点P的轨迹是一条射线,故甲乙,而乙甲⇒,故选B.答案:B3.已知椭圆与双曲线=1有共同的焦点,且离心率为,则椭圆的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=11解析:双曲线=1中,=3,=2,则c1=,故焦点坐标为(-,0),(,0),故所求椭圆=1(a>b>0)的c=,又椭圆的离心率e=,则a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故椭圆的标准方程为=1.答案:B4.已知双曲线C:=1的焦距为10,点P(2,1)在双曲线C的渐近线上,则双曲线C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解. =1的焦距为10,∴c=5=.①又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上,∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,故选A.答案:A5.(2017全国Ⅰ高考)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.2解析:由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以|PF|=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.答案:D6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,故双曲线中c=6.①由双曲线=1的一条渐近线方程为y=x,知,②且c2=a2+b2.③由①②③解得a2=9,b2=27.故双曲线的方程为=1,故选B.答案:B7.P是长轴在x轴上的椭圆=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是()A.1B.a2C.b2D.c2解析:由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a-c,a+c],|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2≥-c2+a2=b2,3所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.答案:D8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于()A.2或-1B.-1C.2D.1±解析:由消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,故Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0,解得k>-1,由x1+x2==4,解得k=-1或k=2,又k>-1,故k=2.答案:C9.设双曲线=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.B.5C.D.解析:双曲线=1的一条渐近线方程为y=x,由方程组消去y,得x2-x+1=0有唯一解,所以Δ=-4=0,所以=2,所以e=,故选D.答案:D10.在抛物线y2=8x中,以(1,-1)为中点的弦的方程是()A.x-4y-3=0B.x+4y+3=0C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0解析:设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2),则=8x1,=8x2,两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),又y1+y2=-2,∴=-4,∴弦所在直线的斜率为-4,又过点(1,-1),∴所求直线方程为4x+y-3=0.答案:C411.如图,南北方向的公路L,A地在公路正东2km处,B地在A北偏东60°方向2km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是()A.(2+)a万元B.(2+1)a万元C.5a万元D.6a万元解析:本题主要考查抛物线的实际应用.依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,根据抛物线的定义知,欲求从M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B到直线L的距离即可. B地在A地北偏东60°方向2km处,∴B到点A的水平距离为3km,∴B到直线L的距离为3+2=5(km),那么,修建这两条公路的总费用最低为5a万元,故选C.答案:C12.(2017全国Ⅰ高考)设A,B是椭圆C:=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)解析:由题意,可知当点M为短轴的端点时,∠AMB最大.当03时,椭圆C的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在...
