平面向量的数量积1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝(，)，BC＝(，)，则∠ABC＝(A)A．30°B．45°C．60°D．120°因为BA＝(，)，BC＝(，)，所以|BA|＝1，|BC|＝1，BA·BC＝×＋×＝，所以cos∠ABC＝cos〈BA，BC〉＝＝.因为0°≤〈BA，BC〉≤180°，所以∠ABC＝〈BA，BC〉＝30°.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(B)A．4B．3C．2D．0a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.因为|a|＝1，a·b＝－1，所以原式＝2×12＋1＝3.3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋b|＝(B)A.B.C．3D．7|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos60°＋|b|2＝4＋2×2×1×＋1＝7，故|a＋b|＝.4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为(B)A．－6B．6C．3D．－3因为2a＋3b与ka－4b垂直，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＋(3k－8)a·b＝2k－12＝0，解得k＝6.5．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝2.因为a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，所以a·b＝0，即－2×3＋3m＝0，解得m＝2.6．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为.由题意，知|AB|＝3，|AC|＝2，AB·AC＝3×2×cos60°＝3，AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，所以AD·AE＝(AB＋AC)·(λAC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得λ＝.7．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.(1)求a与b的夹角；(2)求a－b与a＋b的夹角的余弦值．(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，所以|a|2－|b|2＝，又因为|a|＝1，所以|b|＝＝.设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以θ＝45°.(2)因为(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝，所以|a－b|＝.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝，所以|a＋b|＝.设a＋b与a－b的夹角为α，则cosα＝＝＝.8．(2018·深圳一模)在△ABC中，AB⊥AC，|AC|＝，BC＝BD，则AD·AC＝(D)A.B．2C．2D.因为AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)，所以AD·AC＝AB·AC＋(AC2－AB·AC)，＝AC2＝＝.9．(2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.设a，b的夹角为θ.因为|a|＝1，|b|＝2，所以|a＋b|＋|a－b|＝＋＝＋.令y＝＋，则y2＝10＋2.因为θ∈[0，π]，所以cos2θ∈[0,1]，所以y2∈[16,20]，所以y∈[4,2]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4,2]．10．(2017·江苏卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos(x＋)．因为x∈[0，π]，所以x＋∈[，]，从而－1≤cos(x＋)≤.于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
