课时跟踪检测(十六)导数与函数的极值、最值一、题点全面练1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为()A．0B.C.D.解析：选Af′(x)＝，当x∈[0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1,4]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，因为f(0)＝0，f(4)＝＞0，所以当x＝0时，f(x)有最小值，且最小值为0.2．若函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，则a的值为()A．－1B．0C．1D．e解析：选Cf′(x)＝aex－cosx，若函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C.3．已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为()A．15B．16C．17D．18解析：选D因为x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，所以f′(2)＝12－3a＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－12x＋2，f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0，得x＝±2，故函数f(x)在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时，函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.4.(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的大致图象如图所示，则x＋x等于()A.B.C.D.解析：选C由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，则x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两个不同的实数根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.5．若函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－a
a或x<－a时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a)．∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，解得a>.∴a的取值范围是.答案：6．(2019·长沙调研)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.解析：由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝－a＝0，得x＝，当00；当x>时，f′(x)<0.∴f(x)max＝f＝－lna－1＝－1，解得a＝1.答案：17．(2018·内江一模)已知函数f(x)＝asinx＋bcosx(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y＝x－.(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)＝在上的最小值．解：(1)由切线方程知，当x＝时，y＝0，∴f＝a＋b＝0. f′(x)＝acosx－bsinx，∴由切线方程知，f′＝a－b＝1，∴a＝，b＝－.(2)由(1)知，f(x)＝sinx－cosx＝sin，∴函数g(x)＝，g′(x)＝.设u(x)＝xcosx－sinx，则u′(x)＝－xsinx<0，故u(x)在上单调递减．∴u(x)0)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝－＝(a>0)．(1)由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间是；由f′(x)<0，解得0e，即0
