初识无限练习1．建立“无穷集合论”的数学家是()A．费马B．欧拉C．高斯D．康托2．1615年，为了研究旋转体的体积，________引入了无穷大和无穷小的概念．()A．开普勒B．莱布尼茨C．牛顿D．费马3．下列说法正确的是()A．全体有理数比全体自然数多B．有理数集与自然数集之间存在一一对应关系C．有理数集与自然数集的基数不同D．有理数集与自然数集是相等的集合4．将正整数集Z＋中去掉一个元素“1”后剩余的元素组成的集合记为A，则下列叙述正确的是()A．Z＋比A多一个元素B．Z＋＝AC．Z＋与A的元素个数一样多D．Z＋的基数大于A的基数5．下列叙述正确的是()A．所有可数集的基数都相同B．所有的无限集都是对等的C．所有的无限集都可以与正整数集之间建立一一对应关系D．如果存在一个对应法则，使得A中的任一个元素a，按照对应法则，必有B中唯一的元素b与之对应，则称建立了A与B之间的一个一一对应6．在证明全体有理数是可数的时，我们把有理数排列成一个数阵，从中间的0开始数起，画一个________形的螺旋线，按照这一路线，每个有理数都会被数到，它将对应一个唯一的正整数，这样我们就证明了全体有理数是可数的．7．1886年，法国数学家________说了一句很有名的话：“上帝创造了正整数，其他一切都是人类的创造．”8．证明：集合(0,5)与(0,12)之间可以建立一一对应关系．9．设全体正奇数为集合A，全体正偶数为集合B，证明：A与B对等．10．证明：正奇数集A与正整数集Z＋有相同的基数．11．设A＝，R＝(－∞，＋∞)，建立一个A与R之间一一对应关系．12．设A为可数集，B为有限集或可数集，且A∩B＝，证明：A∪B为可数集．13．上网搜集关于康托的生平材料，并整理出来．1参考答案1．答案：D2．答案：A3．答案：B解析：因为自然数集和有理数集都是可数集，所以它们之间存在一一对应关系．4．答案：C解析：Z＋与A之间存在一一对应关系，故Z＋与A的元素个数一样多．5．答案：A解析：因为所有的可数集都可与正整数集之间建立一一对应关系，所以它们的基数都相同．6．答案：矩7．答案：克罗内克8．证明：从集合(0,5)中任取一个元素x，按照对应法则f：x→y＝，在集合(0,12)中存在唯一元素y与x对应．反之，在(0,12)中任取一个元素y，按照对应法则f：x→y＝,在集合(0,5)中存在唯一的元素x与y对应．从而建立了集合(0,5)与(0,12)之间的一一对应关系．9．证明：对于A中的任一个元素x，按照对应法则f：y＝x＋1，则在B中存在唯一的一个元素y＝x＋1与之对应；反之，对于集合B中的任一元素y，按照对应法则f：y＝x＋1，在集合A中存在唯一的一个元素x与之对应．故A与B之间存在一一对应关系，所以集合A与B对等．10．证明：对于集合Z＋中的任一个元素x，按照对应法则f：y＝2x－1，在集合A中存在唯一元素y与之对应．反之，对于集合A中的任一元素y，按照对应法则f：y＝2x－1，在Z＋中存在唯一的元素x与之对应．这样A与Z＋建立了一一对应关系，所以A与Z＋有相同的基数．11．解：在A中，任取一个元素x，按照对应法则f：y＝tanx，在R中存在唯一的元素y与之对应；反之，对于R中的任一元素y，按照对应法则f：y＝tanx，在A中存在唯一的元素x与之对应．这样就建立了集合A与R之间的一一对应关系．12．证明：由于可数集总可排成无穷序列，不妨设A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bn}(当B有限时)或B＝{b1，b2，…，bn，…}(当B可数时)．由于当B有限时(B排到前，A排在后)，A∪B＝{b1，b2，…，bn，a1，a2，…，an}；又当B可数时(交错排列)，A∪B＝{a1，b1，a2，b2，…，an，bn，…}．可见A∪B总可以排成无穷序列，与正整数集一一对应，从而是可数集．13．答：参考材料如下：康托(Cantor，GeorgFerdinandPhilip,1845—1918)，德国数学家，集合论的创始者.1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日卒于哈雷.1862年入瑞士苏黎世大学，翌年转入柏林大学，主修数学，师从E.E.库默尔、K.魏尔斯特拉斯和L.克罗内克.1867年获博士学位，曾任哈雷大学教授．大学期间康托主修数论，受魏尔斯特拉斯的影响，对严格的数学分析理论感兴趣．他在1872年以本序列(即柯西序列)定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集...
