第三章导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列求导运算正确的是()A.′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：选BA中′＝1－；B正确；C中(3x)′＝3xln3；D中(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx.2．函数f(x)＝4x－x3的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)和(2，＋∞)D．(－2,2)解析：选Df′(x)＝4－x2，令f′(x)>0得－20在上恒成立，∴f(x)在上单调递增．∴f(x)min＝－＋2cos＝－.8．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：选C令f′(x)＝2x－2－＝>0，利用数轴标根法可解得－12，又x>0，所以x>2.故选C.9．函数f(x)＝x2＋2mlnx(m<0)的单调递减区间为()A．(0，＋∞)B．(0，)C．(，＋∞)D．(0，)∪(，＋∞)解析：选B由条件知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为m<0，则f′(x)＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．10.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是()A．(－∞，－2]B.C．[－2,3]D.2解析：选D由题图可知d＝0.不妨取a＝1， f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－，c＝－18.∴y＝x2－x－6，y′＝2x－.当x＞时，y′＞0，∴y＝x2－x－6的单调递增区间为.故选D.11．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(1,2)D．(2，＋∞)解析：选D令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为f(x)<－xf′(x)，所以g′(x)<0，即函数g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减，由f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)得(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，即g(x＋1)>g(x2－1)，所以x＋12.12．已知函数f(x)＝a－2lnx，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)>g(x0)成立，则实数a的取值范围为()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选D设h(x)＝f(x)－g(x)＝ax－2lnx，则h′(x)＝a－.若a≤0，h(x)在[1，e]上的最大值为h(1)＝a≤0，∴不存在x0∈[1，e]，使得h(x0)>0，即f(x0)>g(x0)成立；若a>0，则由h(1)＝a>0知，总存在x0＝1使得f(x0)>g(x0)成立．故实数a的范围为(0，＋∞)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设函数f(x)＝x(ex＋1)＋x2，则函数f(x)的单调增区间为________．解析：因为f(x)＝x(ex＋1)＋x2，所以f′(x)＝ex＋1＋xex＋x＝(ex＋1)(x＋1)．令f′(x)>0，即(ex＋1)(x＋1)>0，解得x>－1.所以...
