2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列说法中正确的是()A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小解析：任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确；向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确；由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．答案：D2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量A′B′的模相等的向量有()A．7个B．3个C．5个D．6个解析：|D′C′|＝|DC|＝|C′D′|＝|CD|＝|BA|＝|AB|＝|B′A′|＝|A′B′|.答案：A3．若空间向量a与向量b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向B．有不相等的模C．不可能是平行向量D．不可能都是零向量解析：a，b不相等，可能方向不同，也可能模不相等，故选D.答案：D4．下面关于空间向量的说法正确的是()A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，CD不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，AC，AD不共面解析：我们可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确．由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确．可用反证法证明D是正确的．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列说法正确的有________．①所有单位向量都相等；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④0方向任意；⑤相等向量是指它们的起点与终点对应重合．解析：①中所有单位向量其模相等；②中|a|＝|b|仅说明模相等，方向没有限定；③中b＝0时得不到a∥c；⑤中相等向量指大小相等方向相同，但起点与终点不一定重合的向量．答案：④6．下列有关平面法向量的说法中，正确的是________．(填写相应序号)①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量；②一个平面的所有法向量互相平行；③如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；④如果a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．解析：由平面法向量的定义知①②③正确，对于④当a与b共线时，n就不一定是平面α的法向量，故④错误．答案：①②③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所有向量．(3)试写出与AB相等的所有向量．(4)试写出AA1的相反向量．解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，DD1，D1D这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有AD1，D1A，A1D，DA1，BC1，C1B，B1C，CB1共8个．(3)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1，DC及D1C13个．(4)向量AA1的相反向量为A1A，B1B.18．如图，正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，求平面SBD的法向量与AD的夹角．解析：∵正四棱锥底面为正方形，∴⇒AC⊥平面SBD.∴AC为平面SBD的一个法向量．又∵〈AC，AD〉＝45°，∴平面SBD的法向量与AD的夹角为45°.☆☆☆9．(10分)如图是一空间几何体的三视图，在该几何体的棱所表示的向量中，试写出6对夹角为90°的向量．解析：由三视图可知此几何体是直三棱柱，且底面△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．其直观图如图．则夹角为90°的向量如下：AA1与AB，AA1与BC，AB与BC，AB与BB1，AB与CC1，BC与BB1等．2
