第2节二次函数考试要求1.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；2.能解决一元二次方程根的分布问题；3.能解决二次函数的最值问题.知识梳理1.二次函数表达式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k)).(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标).2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质a>0a<0图象定义域R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－；②顶点：3.二次函数的最值问题二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”“轴动区间定”“轴定区间动”.解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系m
k，x2>k一个根小于k，一个大于k，即x10)综合结论(不讨论a)a·f（k）<0表二：（根在区间上的分布）分布情况两根都在（m，n）内两根都在区间（m，n）外（x1n）一根在（m，n）内，另一根在（p，q）内，m0）综合结论（不讨论a）若两根有且仅有一根在（m，n）内，则需分三种情况讨论：①当Δ＝0时，由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去；②当f（m）＝0或f（n）＝0，方程有一根为m或n，可以求出另外一根，从而检验另一根是否在区间（m，n）内；③当f（m）·f（n）<0时，则两根有且仅有一根在（m，n）内.[常用结论与易错提醒]不等式ax2＋bx＋c>0（<0）恒成立的条件（1）不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或（2）不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或诊断自测1.判断下列说法的正误.（1）如果二次函数f（x）的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点（0，0），则此二次函数的解析式为f（x）＝（x－1）2－1.（）（2）已知函数f（x）＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是.（）（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（）（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈[a，b]）的最值一定是.（）答案（1）√（2）√（3）×（4）×2.已知f（x）＝x2＋px＋q满足f（1）＝f（2）＝0，则f（－1）的值是（）A.5B.－5C.6D.－6解析由f（1）＝f（2）＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，2，则p＝－3，q＝2，∴f（x）＝x2－3x＋2，∴f（－1）＝6.答案C3.若方程x2＋（m＋2）x＋m＋5＝0只有负根，则m的取值范围是（）A.[4，＋∞）B.（－5，－4]C.[－5，－4]D.（－5，－2）解析由题意得解得m≥4.答案A4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为（）A.[0，1]B.[1，2]C.（1，2]D.（1，2）解析画出函数y＝x2－2x＋3的图象（如图），由题意知1≤m≤2.答案B5.已知方程x2＋（m－2）x＋2m－1＝0的较小的实根在0和1之间，则实数m的取值范围是Ｗ.解析令f（x）＝x2＋（m－2）x＋2m－1.由题意得即解得
