第22讲等差、等比数列的基本运算A级——高考保分练1．若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1＝1，S6＝3S3，则a7的值为________．解析：由S6＝3S3，得(1＋q3)S3＝3S3.因为S3＝a1(1＋q＋q2)≠0，所以q3＝2，得a7＝4.答案：42．(2019·常州期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．解析：依题意有a2a4＝a，a2a3a4＝(a3)3＝a2＋a3＋a4≥a3＋2＝3a3，整理有a3(a－3)≥0，因为an>0，所以a3≥，所以a3的最小值为.答案：3．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以＝1.答案：14．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为________．解析：设{an}的公比为q且q>0，因为a2，a3，a1成等差数列，所以a1＋a2＝2×a3＝a3，即a1＋a1q＝a1q2，因为a1≠0，所以q2－q－1＝0，解得q＝或q＝<0(舍去)，所以＝＝q2＝.答案：5．(2019·苏北三市期末)在等差数列{an}中，若a5＝，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为________．解析：设an＝a1＋(n－1)d，n∈N*，则由得解得所以S6＝6a1＋d＝＋×＝.答案：6．(2019·海安期中)设等比数列{an}的公比为q(0＜q＜1)，前n项和为Sn.若存在m∈N*，使得am＋am＋2＝am＋1，且Sm＝1022am＋1，则m的值为________．解析：由am＋am＋2＝am＋1，得am＋amq2＝amq，即1＋q2＝q，因为0＜q＜1，所以q＝，又Sm＝1022am＋1，所以＝1022a1m，即m＝，所以m＝9.答案：97．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为________．解析：由题知，这十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()7f＝f.答案：f8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)(n∈N*)，a1a2a3＝－27，则a5＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1a2a3＝·a2·a2q＝－27，所以a2＝－3.因为S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，所以当n＝1时，S2＝a1＋a2＝4a1，所以a1＝－1，q＝3，所以a5＝a1q4＝－81.答案：－819．(2019·扬州期末)在正项等比数列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为________．解析：令a1＋a2＝t(t>0)，则a4＋a3－2a2－2a1＝6可化为tq2－2t＝6(其中q为公比)，所以a5＋a6＝tq4＝q4＝6≥6＝48(当且仅当q＝2时等号成立)．答案：4810．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.解析： a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又 Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.答案：611．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.12．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.解：(1) S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.当n＝1时a1＝1，不适合上式．∴an＝(2) a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.B级——难点突破练1．已知数列{an}是等比数列，若ma6·a7＝a－2a4·a9，且公比q∈(，2)，则实数m的取值范围是________．解析： ma6·a7＝a－2a4·a9，a6·a7＝a4·a9，∴m＝－2＝q3－2，又q∈...
