课时提升练(六十)几何概型一、选择题1．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx≥cosx”发生的概率为()A.B.C.D．1【解析】 sinx≥cosx，x∈[0，π]，∴≤x≤π，∴事件“sinx≥cosx”发生的概率为＝.【答案】C2．(文)(2014·长沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为()A.B.C.D.π【解析】如图，满足|PA|≤1的点P在如图所示阴影部分运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为＝＝.【答案】C2．(理)(2014·西城模拟)在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且只有一个零点的概率是()A.B.C.D.【解析】 a∈[0,2]，∴f′(x)＝3x2＋a≥0，∴f(x)是增函数．若f(x)在[－1,1]上有且仅有一个零点，则f(－1)·f(1)≤0，即(－1－a－b)(1＋a－b)≤0，则(1＋a＋b)·(1＋a－b)≥0.由题意知全部事件的面积为2×2＝4，满足条件的面积为4－×1×1＝，∴所求概率P＝＝，故选D.【答案】D图10683．如图1068所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，为半径的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是()A．1－B.C．1－D.与a的取值有关【解析】由题意知，阴影部分的面积为a2－4××π2＝a2，故概率为1－.【答案】A4．(2014·阜阳模拟)一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过rkm的位置都会受其影响，且r是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是()A.B.1－C.－1D.2－【解析】以O为圆心，r为半径作圆，易知当r＞5时，轮船会遭受台风影响，所以P＝＝＝2－.【答案】D5．如图1069，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()图1069A．1－B.－C.D.【解析】法一设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝＝1－.法二设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2.如图，连接AB，由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝×2×2＝2.又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.所以P＝＝＝1－.【答案】A6．(2014·嘉兴模拟)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A.B.C.D.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为矩形ABCD及其内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝＝＝.【答案】B二、填空题7．如图10610所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终图10610边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．【解析】如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝.【答案】8．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．【解析】如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.【答案】9．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为________．【解析】依题意得，模型飞行“安全飞行”的概率为3＝.【答案】三、解答题10．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求方程有实根的概率．【解】记事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事...
