高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式复习课练习（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式性质的两个易错点．(1)忽略不等式乘法中“大于0”这一条件．(2)求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误．2．应用基本不等式求最值的三个注意点．(1)“一正”：各项或各因数都是正数．(2)“二定”：积(或和)为定值．(3)“三等”：等号成立的条件．3．绝对值不等式的两个注意点．(1)解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉绝对值符号．(2)在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形．1专题一基本不等式的应用在用基本不等式求最值时，“正数”“相等”等条件往往容易从题设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法．常用的方法有“加－项、减－项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等．[例1]已知x＞1，求函数y＝的最小值．解：y＝＝＝≥1，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，所以当x＝2时，y有最小值，最小值为1.归纳升华1．利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值．2．基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．[变式训练]已知a＞b＞c＞d，求证：＋＋≥.证明：因为a＞b＞c＞d，所以a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，a－d>0，所以(a－d)＝·[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3·3＝9.所以＋＋≥.专题二绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式指的是||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.这是一类特殊的不等式，它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关系，常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明．[例2]求函数y＝|x－2|＋|x＋5|的最小值．解：y＝|x－2|＋|x＋5|≥|(x－2)－(x＋5)|＝7.当且仅当(x－2)(x＋5)≤0，即－5≤x≤2时等号成立，故函数的最小值为7.归纳升华绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a＋b|≤|a＋b|.我们较为常用的形式是|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，但不要认为只能如此，事实上，|a＋b|是不小于|a|－|b|的．[变式训练]设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1≥|x＋1＋4－x|－1＝4，所以f(x)min＝4.(2)f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立，2等价于|x＋1|＋|x－4|－1≥a＋对任意的实数x恒成立，所以a＋≤4.当a<0时，上式成立；当a>0时，a＋≥2＝4，当且仅当a＝，即a＝2时上式取等号，此时a＋≤4成立．综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{2}．专题三绝对值不等式的解法解不等式的基本思想是转化、化归，不等式的性质是实现“转化”的基本依据，高次不等式、分式不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解.而解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的常用方法有：(1)几何意义，(2)两端平方，(3)零点分段法，(4)绝对值定义.[例❸](2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.解：(1)f(x)＝当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－＋≤，且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝，故m的取值范围为.归纳升华对于形如|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c的不等式，可用零点分段法求解，其操作方法是，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的...