高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程综合提升案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP免费

2-3-1抛物线及其标准方程综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．抛物线y＝－x2的准线方程是A．x＝B．x＝C．y＝2D．y＝4解析抛物线y＝－x2的方程可化为x2＝－8y，所以其准线方程为y＝2.答案C2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x解析由抛物线的准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线的方程为y2＝8x.答案C3．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程为A．x2＝12yB．y2＝12xC．x2＝4yD．x2＝6y解析由题意知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹方程为x2＝12y.答案A4．抛物线y2＝ax的焦点与双曲线－y2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是A．y2＝4xB．y2＝－4xC．y2＝－4xD．y2＝－8x解析∵－y2＝1的左焦点为(－2，0)，∴抛物线开口向左，∴a＜0，且p＝＝4.∴a＝－8.∴抛物线方程为y2＝－8x.故选D.答案D5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为A.B．1C．2D．4解析∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2.答案C6．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为A.B.C．(1，2)D．(1，－2)解析点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S、P、Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P坐标为.答案A1二、填空题(每小题5分，共15分)7．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．解析抛物线的准线方程为x＝－，p>0，双曲线的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以－＝－，p＝2.答案28．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．解析根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.答案9．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)．解析抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．答案②④三、解答题(共35分)10．(10分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解析设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，则焦点F，由题意可得解得或故所求的抛物线方程为y2＝－8x.∴m的值为±2.11．(10分)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点．若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程．解析因为以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，所以△BFD为等腰直角三角形，故斜边|BD|＝2p，又点A到准线l的距离d＝|FA|＝|FB|＝p，所以S△ABD＝4＝|BD|×d＝×2p×p，所以p＝2.所以圆F的圆心为(0，1)，半径r＝|FA|＝2，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.12．(15分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求抛物线的方程．解析设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.因为Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，所以|QA|＝|QB|，即＝，又y＝2px1，y＝2px2，2所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线的方程为y2＝8x.3