大题规范练(六)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.(1)求B的大小；(2)求cosA＋sinC的取值范围．[解](1) a＝2bsinA，根据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，∴sinB＝，又△ABC为锐角三角形，∴B＝.(2) B＝，∴cosA＋sinC＝cosA＋sin＝cosA＋sin＝cosA＋cosA＋sinA＝sin.由△ABC为锐角三角形知，A＋B＞，∴＜A＜，∴＜A＋＜，∴＜sin＜，∴＜sin＜，∴cosA＋sinC的取值范围为.18．如图10，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，二面角F-ABD是直二面角，BE∥AF，BC∥AD，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1.图10(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角FCDA的余弦值.【导学号：07804238】[解](1)证明：由已知得，BE∥AF，AF⊂平面AFD，BE⊄平面AFD，∴BE∥平面AFD.同理可得，BC∥平面AFD.又BE∩BC＝B，∴平面BCE∥平面AFD.设平面DFC∩平面BCE＝l，则l过点C. 平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，平面DFC∩平面AFD＝DF，∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DF∥l.(2) 平面ABEF⊥平面ABCD，FA⊂平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又∠FAB＝90°，∴AF⊥AB，∴AF⊥平面ABCD， AD⊂平面ABCD，∴AF⊥AD. ∠DAB＝90°，∴AD⊥AB.以A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，∴DF＝(－1,0,2)，DC＝(1,2,0)．设平面DFC的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒，不妨取z＝1，则n＝(2，－1,1)，不妨取平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)，∴cos〈m，n〉＝＝＝，由于二面角FCDA为锐角，因此二面角FCDA的余弦值为.19．某大型汽车城为了了解销售单价(单位：万元)在[8,20]内的轿车的销售情况，从2016年上半年已经销售的轿车中随机抽取100辆，获得的所有样本数据按照[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]分成6组，制成如图11所示的频率分布直方图．图11已知样本中销售单价在[14,16)内的轿车数是销售单价在[18,20]内的轿车数的2倍．(1)求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，求至少有1辆轿车的销售单价在[14,16)内的概率；(3)用分层抽样的方法从销售单价在[8,20]内的轿车中共抽取20辆，再从抽出的20辆轿车中随机抽取2辆，X表示这2辆轿车中销售单价在[10,12)内的轿车的数量，求X的分布列及数学期望E(X)．[解](1)样本中轿车的销售单价在[14,16)内的轿车数是x×2×100＝200x，样本中轿车的销售单价在[18,20]内的轿车数是y×2×100＝200y，依题意，有200x＝2×200y，即x＝2y，①根据频率分布直方图可知(0.1×2＋0.025＋x＋0.05＋y)×2＝1，②由①②得x＝0.15，y＝0.075.根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数为×0.025×2＋×0.05×2＋×0.1×2＋×0.15×2＋×0.1×2＋×0.075×2＝0.45＋1.1＋2.6＋4.5＋3.4＋2.85＝14.9(万元)．(2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，则至少有1辆轿车的销售单价在[14,16)内的概率为1－C(0.3)0×(0.7)3＝1－0.343＝0.657.(3)因为销售单价在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]的轿车的分层抽样比为1∶2∶4∶6∶4∶3，故在抽取的20辆轿车中，销售单价在[10,12)内的轿车有20×＝2(辆)，X的所有可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分)22．选修44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1的位置关系；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π).【导学号：0780423...
