学业分层测评(十)抛物线的标准方程(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.抛物线y2＝4x的准线方程为________.【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.【答案】x＝－12.抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点恰好与椭圆＋＝1的一个焦点重合，则p＝________.【解析】椭圆中a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4，∴c＝±2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点F与F1重合，∴－＝－2，∴p＝4.【答案】43.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________.【解析】由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.【答案】64.抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为________.【解析】抛物线y＝x2的标准形式为x2＝ay，故焦点在y轴上，坐标为.【答案】5.(2016·盐城高二检测)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________.【解析】由－＝1知a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9，双曲线右焦点为(3,0)，依题意，抛物线的焦点F(3,0)，＝3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝12x.【答案】y2＝12x6.焦点在y轴上，且抛物线上一点A(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为________.【解析】设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)， A(m,3)到焦点的距离为5，∴＋3＝5，∴p＝4，∴抛物线为x2＝8y.【答案】x2＝8y7.已知开口向下的抛物线上一点Q(m，－3)到焦点的距离等于5，则该抛物线的标准方程为________.【解析】 Q(m，－3)到焦点的距离等于5.∴Q到准线的距离也等于5.∴准线：y＝2，即＝2，∴p＝4.即：抛物线标准方程为：x2＝－8y.【答案】x2＝－8y8.(2016·常州高二检测)抛物线y＝－x2上的动点M到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________.【解析】将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为F(0，－1)，因为－3<－，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过点E作EQ⊥l于点Q，过点M作MP⊥l于点P，所以MF＋ME＝MP＋ME≥EQ，又EQ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.1【答案】4二、解答题9.设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x＋4y－14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程.【导学号：24830046】【解】设与l平行的切线方程为3x＋4y＋m＝0，由得2x2－3px－pm＝0.∴Δ＝0即m＝－p.又d＝＝1，∴p＝8或p＝(舍)，∴抛物线的标准方程为x2＝－16y.10.(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，试给出FP1，FP2，FP3之间的关系式；(2)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，求|FA|＋|FB|＋|FC|.【解】(1)由抛物线方程y2＝2px(p>0)得准线方程为x＝－，则由抛物线的定义得FP1＝x1＋，FP2＝x2＋，FP3＝x3＋，则FP1＋FP3＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p，因为x1＋x3＝2x2，所以FP1＋FP3＝2x2＋p＝2＝2FP2，从而FP1，FP2，FP3之间的关系式为FP1＋FP3＝2FP2.(2)设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由题意知2p＝4，p＝2，F(1,0)，又FA＋FB＋FC＝0，则有xA－1＋xB－1＋xC－1＝0，即xA＋xB＋xC＝3.由抛物线的定义可知，|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋＋＝(xA＋xB＋xC)＋3×＝3＋3＝6.能力提升]1.对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________.(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足.【答案】②④2.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为－，那么PF＝________.【解析】由抛物线定义得PF＝PA，又由直线AF的斜率为－可知，∠PAF＝60°，所以△PAF是等边三角形，即PF＝AF＝＝8.【答案】83.(2016...
