【优化探究】2016高考数学一轮复习4-3平面向量的数量积及平面向量的应用课时作业文一、选择题1．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为()A.B.C.D.解析：由题意可做图如下，设AB＝b，AD＝a，结合向量的几何意义可知∠ABD＝∠CAB＝，故向量a＋b与a－b的夹角为AC与BD的夹角π，故选D.答案：D2．(2014年高考山东卷)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A．2B.C．0D．－解析：a·b＝|a||b|cos，则3＋m＝2··.(＋m)2＝9＋m2，解得m＝.答案：B3．(2014年高考浙江卷)设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.()A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定解析：|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a|·|b|cosθ·t＋|b|2.因为|b＋ta|min＝1，所以＝|b|2(1－cos2θ)＝1.所以|b|2sin2θ＝1，所以|b|sinθ＝1，即|b|＝.即θ确定，|b|唯一确定．答案：B4．在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心解析：设BC边中点为D， AC2－AB2＝2AM·BC，∴(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AM·BC，即AD·BC＝AM·BC，∴MD·BC＝0，则MD⊥BC，即MD⊥BC，∴MD为BC的垂直平分线，∴动点M的轨迹必通过△ABC的外心，故选C.答案：C5．已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O.若|OA|＝|AB|，且2OA＋AB＋AC＝0，则CA·CB等于()A.B．2C.D．3解析：因为2OA＋AB＋AC＝0，所以(OA＋AB)＋(OA＋AC)＝0，即OB＋OC＝0，所以O为BC的中点，故△ABC为直角三角形，∠A为直角，又|OA|＝|AB|，则△OAB为正三角形，|AC|1＝，|AB|＝1，CA与CB的夹角为30°，由数量积公式可知选D.答案：D二、填空题6．(2014年高考重庆卷)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析：由a＝(－2，－6)，得|a|＝2，则a·b＝|a||b|cos60°＝2··＝10.答案：107．(2014年高考四川卷)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.解析：a＝(1,2)，b＝(4,2)，则c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20. c与a的夹角等于c与b的夹角，∴＝，∴＝，解得m＝2.答案：28．(2014年苏北四市质检)在平面四边形ABCD中，已知AB＝3，DC＝2，点E，F分别在边AD，BC上，且AD＝3AE，BC＝3BF，若向量AB与DC的夹角为60°，则AB·EF的值为________．解析：EF＝EA＋AB＋BF①，EF＝ED＋DC＋CF②，由AD＝3AE，BC＝3BF，有2EA＋ED＝0,2BF＋CF＝0，①×2＋②得2AB＋DC＝3EF，所以EF＝AB＋DC，则AB·EF＝AB·＝AB2＋AB·DC＝×32＋×3×2cos60°＝7.答案：7三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若(ka＋b)⊥b，求k的值．解析：(1) (2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4a2－4a·b－3b2＝61， |a|＝4，|b|＝3，∴a2＝16，b2＝9，∴4×16－4a·b－3×9＝61，∴a·b＝－6，∴cosθ＝＝＝－.又 0≤θ≤π，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－6)＋9＝13.∴|a＋b|＝.(3)由(ka＋b)⊥b得(ka＋b)·b＝0，即ka·b＋b2＝0，∴－6k＋9＝0，k＝.10．(2015年海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝k(k∈R)．2(1)判断△ABC的形状；(2)若c＝，求k的值．解析：(1) AB·AC＝cbcosA，BA·BC＝cacosB，又AB·AC＝BA·BC，∴bccosA＝accosB，∴sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0， －π
