第3讲平面向量的数量积及应用配套课时作业1．(2019·吉林市调研)如果向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，那么下列结论正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝2C．(a－b)⊥bD．a∥b答案C解析|a|＝2，|b|＝，A错误；a·b＝2，B错误；(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，∴(a－b)⊥b，C正确．故选C.2．若|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角θ＝150°，则a·(a－b)＝()A．1B．－1C．7D．－7答案C解析a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2××＝7.故选C.3.(2019·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.答案C解析 a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝cos＝.故选C.4．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5答案A解析由|a＋b|＝得a2＋b2＋2a·b＝10，①由|a－b|＝得a2＋b2－2a·b＝6，②①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1.故选A.5．已知m>0，n>0，向量a＝(m,1)，b＝(1，n－1)，且a⊥b，则＋的最小值是()A．2B．2C．3＋2D．4＋2答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0.所以m＋n＝1.因为m>0，n>0，所以＋＝(m＋n)＝1＋2＋＋≥3＋2(当且仅当＝，即n＝2－，m＝－1时取等号)．6.(2019·长郡中学模拟)在菱形ABCD中，A(－1,2)，C(2,1)，则BA·AC＝()A.5B．－5C．－D．－答案B解析设菱形ABCD的对角线交于点M，则BA＝BM＋MA，BM⊥AC，MA＝－AC，又AC＝(3，－1)，所以BA·AC＝(BM＋MA)·AC＝－AC2＝－5.故选B.,7.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为()A.－B．C．±D．1答案B解析a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直．,所以(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2－2b2＋(2λ－3)a·b＝12λ－18＋0＝0，∴λ＝.故选B.8.(2019·山东模拟)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C．D．－答案B解析由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.故选B.19.(2019·东北联考)已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.答案C解析因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，,所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.,又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝.,因为θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C.10.(2018·石家庄模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AC·BC＝1，则BC＝()A．B.C．2D．3答案D解析设∠A＝θ，,因为BC＝AC－AB，AB＝4，AC＝3，,所以AC·BC＝AC2－AC·AB＝9－AC·AB＝1.,AC·AB＝8.cosθ＝＝＝，,所以BC＝＝3.故选D.11.已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为()A.[1,2]B.[2,4]C.D.答案D解析由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以|b|cosθ＝1－2|b|2.因为－1≤cosθ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是.故选D.12．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为()A.B.C.D.3答案A解析解法一：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1，0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，∴AE·BE＝(－1，t)·＝t2－t＋， t∈[0，]，∴当t＝－＝时，AE·BE取得最小值，(AE·BE)min＝－×＋＝.故选A.解法二：令DE＝λDC(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝， AE＝AD＋λDC，∴BE＝BA＋AE＝BA＋AD＋λDC，2∴AE·BE＝(AD＋λDC)·(BA＋AD＋λDC)＝AD·BA＋|AD|2＋λDC·BA＋λ2|DC|2＝3λ2－λ＋.当λ＝－＝时，AE·BE取得最小值.故选A.13．(2019·南宁模拟)已知平面向量α，β，且|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|＝________.答案解析由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，所以|2α＋β|＝.14．(2019·湖南模拟)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.答案18解析设AC与BD的交点为O，则AP·AC＝AP·2AO＝2AP2＋2AP·PO＝2×32＋0＝18.15．△ABC是边长为2的...
