高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学业分层测评 新人教B版选修2-3-新人教B版高二选修2-3数学试题VIP免费

1.3.1二项式定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于()A.(x－1)3B.(x－2)3C.x3D.(x＋1)3【解析】S＝[(x－1)＋1]3＝x3.【答案】C2.已知7的展开式的第4项等于5，则x等于()A.B.－C.7D.－7【解析】T4＝Cx43＝5，则x＝－.【答案】B3.若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A.3B.6C.9D.12【解析】x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.【答案】B4.使n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7【解析】Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立.【答案】B5.(x2＋2)5的展开式的常数项是()A.－3B.－2C.2D.3【解析】二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.【答案】D二、填空题6.若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________.【导学号：62980025】【解析】由题意知，C＝C，∴n＝8.∴Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为C＝56.【答案】567.设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是_______1_.【解析】对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax－)r＝C(－a)r·x6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，∴a＝2.【答案】28.9192被100除所得的余数为________.【解析】法一：9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C.前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8281，显然8281除以100所得余数为81.【答案】81三、解答题9.化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC(n∈N＋).【解】将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.∴S＝(－1)n＝10.在6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项.【解】(1)第3项的二项式系数为C＝15，又T3＝C(2)42＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.(2)Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r，令3－r＝2，得r＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.[能力提升]1.若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为()A.x＝4，n＝3B.x＝4，n＝4C.x＝5，n＝4D.x＝6，n＝5【解析】Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合.【答案】C2.已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为()A.－19B.19C.20D.－20【解析】n的通项公式为Tr＋1＝C()n－r·r＝Cx－，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】C3.对于二项式n(n∈N＋)，有以下四种判断：①存在n∈N＋，展开式中有常数项；②对任意n∈N＋，展开式中没有常数项；③对任意2n∈N＋，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N＋，展开式中有x的一次项.其中正确的是________.【解析】二项式n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N＋)和n＝4r－1(r∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和一次项.【答案】①与④4.求5的展开式的常数项.【解】法一：由二项式定理得5＝5＝C·5＋C·4·＋C·3·()2＋C·2·()3＋C··()4＋C·()5.其中为常数项的有：C4·中的第3项：CC·2·；C·2·()3中的第2项：CC··()3；展开式的最后一项C·()5.综上可知，常数项为CC·2·＋CC··()3＋C·()5＝.法二：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝.3