1.5柱坐标系和球坐标系课时过关·能力提升1点P的柱坐标为(16,π3,5),则其直角坐标为()A.(5,8,8√3¿B.(8,8√3,5¿C.(8√3,8,5¿D.(4,8√3,5¿解析:∵ρ=16,θ¿π3,z=5,∴x=ρcosθ=8,y=ρsinθ=8√3,z=5,∴点P的直角坐标是(8,8√3,5¿.答案:B2点M的直角坐标为(√3,1,−2),则它的柱坐标为()A.(2,π6,2)B.(2,π3,2)C.(2,π6,-2)D.(2,-π6,-2)解析:ρ¿√(√3)2+12=2,tanθ=1√3=√33,θ=π6,故点M的柱坐标为(2,π6,-2).答案:C3已知点M的球坐标为(4,3π4,π4),则点M到Oz轴的距离为()A.2√2B.√2C.2D.4解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),∵(r,θ,φ)¿(4,3π4,π4),1∴{x=rsinφcosθ=4sinπ4cos3π4=-2,y=rsinφsinθ=4sinπ4sin3π4=2,z=rcosφ=4cosπ4=2√2,∴点M的直角坐标为(-2,2,2√2¿,点M到Oz轴的距离为√22+22=2√2.故选A.答案:A4在柱坐标系中,点M的柱坐标为(2,π3,√5),则∨OM∨¿.解析:∵(ρ,θ,z)¿(2,π3,√5),设点M的直角坐标为(x,y,z),则x2+y2=ρ2=4,z¿√5,∴|OM|¿√x2+y2+z2=√4+(√5)2=3.答案:35设点M的柱坐标为(4,7π6,1),则它的直角坐标是.解析:∵ρ=4,θ¿7π6,z=1,∴x=ρcosθ=4cos7π6=−2√3,y=ρsinθ=4sin7π6=−2.∴点M的直角坐标是(-2√3,−2,1¿.答案:(-2√3,−2,1¿6如图,请写出点M的球坐标.解:由球坐标的定义和题图知,|OM|=r,OM与z轴正向所夹的角为φ,点M在xOy平面上的射影为点Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(r,θ,φ)来表示,即M(r,θ,φ).7已知点P的柱坐标为(√2,π4,5),点B的球坐标为(√6,π6,π3),分别求这两个点的直角坐标.解:设点P的直角坐标为(x,y,z),2则x¿√2cosπ4=√2×√22=1,y¿√2sinπ4=1,z=5.设点B的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1¿√6sinπ3cosπ6=√6×√32×√32=3√64,y1¿√6sinπ3sinπ6=√6×√32×12=3√24,z1¿√6cosπ3=√6×12=√62.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为(3√64,3√24,√62).★8在球坐标系中,求两点P(3,π4,π6),Q(3,3π4,π6)间的距离.解:将P,Q两点的球坐标转化为直角坐标.设点P的直角坐标为(x,y,z),x=3sinπ6cosπ4=3√24,y=3sinπ6sinπ4=3√24,z=3cosπ6=3√32.则点P的直角坐标为(3√24,3√24,3√32).设点Q的直角坐标为(x1,y1,z1).x1=3sinπ6cos3π4=−3√24,y1=3sinπ6sin3π4=3√24,z1=3cosπ6=3√32.∴点Q的直角坐标为(-3√24,3√24,3√32).∴|PQ|=√(3√24+3√24)2+(3√24-3√24)2+(3√32-3√32)2=3√22,即P,Q两点间的距离为3√22.34
