5.3.1比较法自我小测1若P＝，Q＝－，R＝－，则P、Q、R的大小关系是________．2已知a、b都是正数，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是________．3已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P、Q的大小关系是________．4当x＞1时，x3与x2－x＋1的大小关系是________．5若－1＜a＜b＜0，则，，a2，b2中值最小的是________．6设a＞0，b＞0.求证：aabb≥(ab).7设a＞b＞c＞0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系为________．8比较大小：log34________log67.9已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.10(2010江苏高考，理21D)设a、b为非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．1参考答案1．P＞Q＞R解析：∵＋＝2＞.∴＞－，即P＞Q；又∵＋＞＋.∴－＞－，即Q＞R.∴P＞Q＞R.2．P≤Q解析：∵a，b都是正数，∴P＞0，Q＞0，∴P2－Q2＝2－()2＝≤0，∴P2－Q2≤0，∴P≤Q.3．P＞Q解析：P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜＜1，∴loga＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，则＞1，∴loga＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q.4．x3＞x2－x＋1解析：x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，且x＞1，∴x－1＞0.又x2＋1＞0，∴x3－(x2－x＋1)＞0，即x3＞x2－x＋1.5．解析：依题意，知＞，a2＞b2，故只需比较与b2的大小．∵b2＞0，＜0，∴＜b2.6．证明：∵aabb＞0，(ab)＞0，∴＝ab＝.当a＝b时，有＝1；当a＞b＞0时，＞1，＞0，当b＞a＞0时，0＜＜1，＜0，由指数函数的单调性，有＞0，即＞1.综上可知，对任意实数a、b，都有aabb≥(ab).7．x＜y＜z解析：∵a＞b＞c＞0.∴x＞0，y＞0，z＞0.b－a＜0，c－b＜0.而x2－y2＝a2＋b2＋2bc＋c2－(b2＋c2＋2ac＋a2)＝2bc－2ac＝2c(b－a)＜0.∴x2＜y2，即x＜y；又y2－z2＝b2＋(c＋a)2－[c2＋(a＋b)2]＝2ac－2ab＝2a(c－b)＜0.∴y＜z.∴x＜y＜z.8．＞解析：设log34＝a，log67＝b，则3a＝4,6b＝7，得7×3a＝4×6b＝4×2b×3b，即3a－b＝.显然b＞1.所以2b＞2，则3a－b＝＞1.2所以a－b＞0，即a＞b.9．证明：∵a＞2，∴a－1＞1，loga(a－1)＞0，a＞0，所以＝loga(a－1)loga(a＋1)＜2＝2.∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，∴2＜2＝1，∴＜1，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.10．证明：由a、b是非负实数，作差得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]．当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0；当a＜b时，＜，从而()5＜()5，得(－)[()5－()5]＞0.所以a3＋b3≥(a2＋b2)．3
