9.8.1直线与圆锥曲线A组专项基础训练(时间：40分钟)1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0【解析】由题意知：>2，即<2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.【答案】B2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．0【解析】因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．【答案】A3．已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A．2B．2C．8D．2【解析】根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，∴＋＝1，可得m＝2.【答案】B4．(2017·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.C.D.【解析】设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，当t＝0时，|AB|max＝.【答案】C5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在【解析】抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则A，B到直线x＝－1的距离之和为x1＋x2＋2.设直线方程为x＝my＋1，代入抛物线y2＝4x，则y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.∴A，B到直线x＝－2的距离之和x1＋x2＋2＋2≥6>5.∴满足题意的直线不存在．【答案】D6．(2017·大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．【解析】由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.则|AB|＝＝＝＝.【答案】7．(2017·安顺月考)在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为________．【解析】设直线MN的方程为y＝－x＋b，代入y＝x2中，整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b＞0，∴b＞－.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，＝－＋b＝＋b，由在直线y＝x＋3上，即＋b＝－＋3，解得b＝2，联立得解得【答案】(－2，4)，(1，1)8．(2017·江苏盐城模拟)设椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为________．【解析】由题意可得，抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴c＝2. 椭圆的离心率为，∴a＝4，∴b＝＝2，即n＝2，∴椭圆的短轴长为4.【答案】49．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，l的方程为y＝x＋c，其中c＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2，所以E的离心率e＝＝＝.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，得c＝3，从而a＝3，b＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.10．(2017·山西山大附中模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．(1)求椭圆方程；(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明：OM·OP为定值．【解析】(1)由题意知a＝2，b＝c， a2＝b2＋c2，∴b2＝2.∴椭圆方程为＋＝1.(2)证明由题意知C(－2，0)，D(2，0)，设M(2，y0)，P(x1，y1)，则OP＝(x1，y1)，OM＝(2，y0)．直线CM：＝，即y＝x＋y0.代入椭圆x2＋2y2＝4，得x2＋yx＋y－4＝0. x1·(－2)＝，∴x1＝－，∴y1...
