课时分层作业(二十四)圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积(建议用时：40分钟)一、选择题1．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为()A．πQB．2πQC．3πQD．4πQB[正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S＝2πrl＝2π··＝2πQ.故选B．]2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()A．2B．2C．4D．8C[圆台的轴截面如图，由题意知，l＝(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.]3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3A[设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]4．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A．2B．2C．3D．2A[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝＝2.故选A．]5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是()A．1∶3B．1∶(－1)C．1∶9D．∶2B[由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶，故截面把圆锥母线分为1∶(－1)两部分，故选B．]二、填空题6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．2[设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.]7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)3[圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为＝3(寸)．]8．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是________．cm3[180°＝×360°，∴l＝20，h＝10，V＝π(r＋r＋r1r2)·h＝(cm3)．]三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．[解]设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝πl，得l＝6r.又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，圆锥的高h＝＝5，V＝πr2h＝π××5＝π.10．如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？[解]因为圆锥形铅锤的体积为×π××20＝60π(cm3)，设水面下降的高度为xcm，则小圆柱的体积为πx＝100πx.所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.故杯里的水将下降0.6cm.11．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是()A．B．C．D．D[设圆柱底面半径为r，高为h，则∴r＝，h＝.∴V＝πr2·h＝π·＝.]12．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b.那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．[采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝.]13．(一题两空)圆柱内有一个内接长方体ABCDA1B1C1D1，长方体的体对角线长是10cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100πcm2，则圆柱的底面半径为________cm，高为________cm.510[设圆柱底面半径为rcm，高为hcm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：所以即圆柱的底面半径为5cm，高为10cm.]14．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．[解]设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2.如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以＝，即＝，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.所以S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2...
