1.4.3含有一个量词的命题的否定A级：基础巩固练一、选择题1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n3x；命题q：∀x∈，tanx>sinx，则下列是真命题的是()A．(綈p)∧qB．(綈p)∨(綈q)C．p∧(綈q)D．p∨(綈q)答案D解析当x＝－1时，2－1>3－1，所以p为真命题；当x∈时，tanx－sinx＝>0，所以q为真命题，所以p∨(綈q)是真命题，故选D.5．已知命题p：任意的x∈R,2x2＋2x＋＜0；命题q：存在x∈R，sinx－cosx＝，则下列判断正确的是()A．p是真命题B．q是假命题C．綈p是假命题D．綈q是假命题答案D解析在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故为假命题；在命题q中，当x＝时，命题成立，故为真命题，綈q是假命题．6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)1答案C解析由题意知，x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是假命题．二、填空题7．若命题p：∀x∈R，<0，则綈p：________.答案∃x0∈R，使>0或x0－2＝0解析綈p：∃x0∈R，使>0或x0－2＝0.最容易出现的错误答案是：存在x0∈R，使≥0.8．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案1解析因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，又因为m的取值范围是(a，＋∞)，所以实数a＝1.9．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．答案解析因为x∈[－1,3]，所以f(x)∈[0,9]，又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，即∃x∈[0,2]，g(x)≤0，即x－m≤0，所以∃x∈[0,2]，使m≥x成立，m≥2，即m≥.三、解答题10．已知命题p：∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2＜0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．解根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．因为m∈[－1,1]，所以∈[2，3]，因为∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥，所以a2－5a－3≥3，所以a≥6或a≤－1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2＜0，所以Δ＝a2－8＞0，所以a＞2或a＜－2，从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为[－2，－1]．B级：能力提升练已知定义在(－∞，3]上的单调递减函数f(x)，使得f(a2－sinx)≤f(a＋1＋cos2x)对∀x∈R均成立，求a的取值范围．解由单调性得3≥a2－sinx≥a＋1＋cos2x对任意的x∈R均成立，即对任意的x∈R均成立．设g(x)＝3＋sinx(x∈(－∞，3])，h(x)＝sinx＋cos2x＋1(x∈(－∞，3])，则又由函数的单调性可知，g(x)min＝2，h(x)＝－sin2x＋sinx＋2＝－2＋，h(x)max＝，故有2解得－≤a≤－.故a的取值范围为.3
