第5课函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）；（2）．2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）；（2）；（3）．解：（1）将的图像向下平移1个单位，可得的图像．图略；（2）将的图像向右平移2个单位，可得的图像．图略；（3）由，将的图像先向右平移1个单位，得的图像，再向下平移1个单位，可得的图像．如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）作的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；（2）作的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；（3）作的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；（4）作的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示．1Oyx1－1－1Oyx图1－1Oyx图2向右平移1个单位向上平移3个单位作关于y轴对称的图形向右平移3个单位4.函数的图象是（B）5.给出下列四个函数：①；②；③；④．当时，使成立的函数的序号有____①____．【范例解析】例1.作出函数及，，，，的图像．分析：根据图像变换得到相应函数的图像．解：与的图像关于y轴对称；与的图像关于x轴对称；将的图像向左平移2个单位得到的图像；保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．图略．点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”2A1xyOB1xyOC1xyOD1xyO-1-1-1-11111－1Oyx图31－1Oyx图4下“－”；对称变换：与的图像关于y轴对称；与的图像关于x轴对称；与的图像关于原点对称；保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．例2.将函数的图像沿x轴向右平移1个单位，得图像C，图像与C关于原点对称，图像与关于直线对称，求对应函数的解析式．分析：先通过平移变换得到图像C对应的解析式，再利用对称性得到解析式．解：函数的图像沿x轴向右平移1个单位，得的图像；因图像与C关于原点对称，则图像的解析式为：，即．设函数图像上任一点为，点直线对称的点为，得代入中，得，故对应函数的解析式为．点评：注意根据对称性求解析式的一般步骤．例3.讨论方程的解的个数．分析：构造函数，利用函数的图像讨论方程的解的个数．解：构造两个函数，，是一组平行于x轴的直线，作出函数的图像，如图，观察图像可得，当时，两个函数图像无交点，故方程无解；当时，两个函数图像有2个交点，故方程有2个解；当时，两个函数图像有4个交点，故方程有4个解；当时，两个函数图像有3个交点，故方程有3个解；当时，两个函数图像有2个交点，故方程有2个解．综上，当时，方程无解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解．点评：将方程的根的问题转化为函数图像的交点问题，体现了化归思想，函数与方程思想，数形结合思想．例4.设函数.（1）在区间上画出函数的图像；3（2）设集合.试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方．分析：根据图像变换得到的图像，第（3）问实质是恒成立问题．解：（1）（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.由于.（3）当时，.，.又，4①当，即时，取，.，则.②当，即时，取，＝.由①、②可知，当时，，.因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方．点评：恒成立问题是一种常见题型，通常转化为求函数最值问题或利用参数分离求解．【反馈演练】1．函数的图象是（B）2．某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则可能正确的是（A）5tOQ(t)10ºc612第2题AO612tG(t)10ºcOtG(t)12610ºcBOt12610ºcG(t)Ct126OG(t)10...
