第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是()①⃗AB+2⃗BC+2⃗CD+⃗DC;②2⃗AB+2⃗BC+3⃗CD+3⃗DA+⃗AC;③⃗AB+⃗CA+⃗BD;④⃗AB−⃗CB+⃗CD−⃗AD.A.①②B.②③C.②④D.①④解析①中,原式=⃗AB+2⃗BD+⃗DC=⃗AB+⃗BD+⃗BD+⃗DC=⃗AD+⃗BC,不符合题意;②中,原式=2(⃗AB+⃗BC+⃗CD+⃗DA)+(⃗AC+⃗CD+⃗DA)=0;③中,原式=⃗CD,不符合题意;④中,原式=(⃗AB−⃗AD)+(⃗CD−⃗CB)=0.故选C.答案C2.已知向量a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为()A.-2B.-143C.145D.2解析 a⊥(a-λb),∴a·(a-λb)=|a|2-λa·b=0,∴|a|2=λa·b,∴14=λ(2+2+3)=7λ,解得λ=2.故选D.答案D3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,⃗AB=(2,-1,-4),⃗AD=(4,2,0),⃗AP=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是()A.相交B.垂直C.不垂直D.成60°角解析因为⃗AP·⃗AB=0,⃗AP·⃗AC=0,所以⃗AP⊥平面ABCD.答案B4.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E、F分别是BC、AD的中点,则⃗AE·⃗AF的值为()1A.a2B.14a2C.12a2D.√34a2解析在正四面体ABCD中,点E、F分别是BC、AD的中点,∴⃗AE=⃗AB+⃗BE,⃗AF=12⃗AD.则⃗AE·⃗AF=⃗(AB+⃗BE)·12⃗AD=12⃗AB·⃗AD+12⃗BE·⃗AD.因为是正四面体,所以BE⊥AD,∠BAD=π3,即⃗BE·⃗AD=0,⃗AB·⃗AD=|AB|·|AD|cosπ3=a22,所以⃗AE·⃗AF=a24,故选B.答案B5.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则()A.α⊥βB.α∥βC.α与β相交但不垂直D.以上都不对解析 n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),∴n=-2m.∴m∥n.∴α与β平行.答案B6.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量⃗AB,⃗AD,⃗AA1两两的夹角均为60°,且|⃗AB|=1,|⃗AD|=2,|⃗AA1|=3,则|⃗AC1|等于()A.5B.6C.4D.8解析设⃗AB=a,⃗AD=b,⃗AA1=c,则⃗AC1=a+b+c,⃗AC12=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|⃗AC1|=5.答案A7.三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则⃗AB·⃗CD等于()A.-2B.2C.-2√3D.2√3解析⃗AB·⃗CD=⃗AB·(⃗AD−⃗AC)=⃗AB·⃗AD−⃗AB·⃗AC=2×2×cos90°-2×2×cos60°=-2.2答案A8.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.√55B.√53C.2√55D.35解析不妨设CB=1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1).∴⃗BC1=(0,2,-1),⃗AB1=(-2,2,1).∴cos<⃗BC1,⃗AB1>=⃗BC1·⃗AB1|⃗BC1||⃗AB1|=0+4-1√5×3=√55.故选A.答案A9.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),⃗OA+λ⃗OB与⃗OB的夹角为120°,则λ的值为()A.±√66B.√66C.-√66D.±√6解析因为A(1,0,0),B(0,-1,1),所以⃗OA+λ⃗OB=(1,0,0)+λ(0,-1,1)=(1,-λ,λ),|⃗OA+λ⃗OB|=√1+2λ2,|⃗OB|=√2,(⃗OA+λ⃗OB)·⃗OB=2λ,所以cos120°=2λ√2×√2λ2+1=-12,所以λ<0,且4λ=-√4λ2+2,解得λ=-√66,故选C.答案C310.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.45B.35C.34D.√55解析取AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设三棱柱的棱长为2,则A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(√3,0,2),∴⃗AD=(0,1,2).设n=(x,y,z)为平面B1CD的一个法向量,由{n·⃗CD=0,n·⃗CB1=0,得{-y+2z=0,√3x-y+2z=0,故{x=0,y=2z,令z=1,得n=(0,2,1).设直线AD与平面B1DC所成角为α,则sinα=|cos<⃗AD,n>|=|⃗AD·n||⃗AD||n|=4√5×√5=45,所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45.故选A.答案A11.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1四点共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()4A.√32B.12C.15D.2√65解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A1(6,0,6),E(6,3,0),F(3,6,0).设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得{n1·⃗DE=6a+3b=0,n1·⃗DA1=6a+6c=0,令a=-1,则c=1,b=2,所以n1=(-1,2,1).同理得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),由题图知,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为|n1·n2||n1||n2|=12.答案B12.在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=A...
