3.1.2椭圆的简单性质[A.基础达标]1．已知椭圆＋＝1及以下3个函数：①f(x)＝x；②f(x)＝sinx；③f(x)＝cosx，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有()A．1个B．2个C．3个D．0个解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f(x)＝x，f(x)＝sinx为奇函数，f(x)＝cosx为偶函数，故①②满足要求．2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个顶点在直线x＋y＝4上，则此椭圆的焦点坐标是()A．(±5，0)B．(0，±5)C．(±，0)D．(0，±)解析：选C.直线x＋y＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a＝4，b＝3，所以c＝＝，故椭圆的焦点坐标为(±，0)．3.如图，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为()A.B.－1C.D.－1解析：选A.因为Rt△AOB∽Rt△BOC，所以＝，即b2＝ac，又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝ac，即c2＋ac－a2＝0，所以e2＋e－1＝0，又e∈(0，1)，所以e＝.4．如图，已知ABCDEF是边长为2的正六边形，A、D为椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，BC、EF分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1解析：选A.因为a＝|AO|＝2，b＝2×＝.故该椭圆的方程为＋＝1.5．设AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是()A．98aB．99aC．100aD．101a解析：选D.设F2为椭圆的右焦点，|F1Pi|＋|F2Pi|＝2a(i＝1，2，…，99)，P1，P2，…，P99关于y轴成对称分布，（|F1Pi|＋|F2Pi|）＝2a×99＝198a，|F1Pi|＝(|F1Pi|＋|F2Pi|)＝99a.又因为|F1A|＋|F1B|＝2a，所以|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|＝99a＋2a＝101a.6．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．解析：由题意知，2a＝20，a＝10，e＝＝，所以c＝6，b2＝a2－c2＝64.故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.答案：＋＝1或＋＝17．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是________．1解析：将椭圆化为标准方程为＋＝1，则必有m>0.因为m＋1>m>0，所以<.所以a2＝，a＝，2a＝.答案：8．若椭圆＋＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围为________．解析：当焦点在x轴上时，可得：解得m∈(0，2]；当焦点在y轴上时，可得：解得m∈[8，＋∞)，故m∈(0，2]∪[8，＋∞)．答案：(0，2]∪[8，＋∞)9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为＋＝1，因为m－＝>0，所以m>，即a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝得＝，所以m＝1.所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.所以a＝1，b＝，c＝.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－)，(0，)．10．(1)已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.求椭圆E的方程．(2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)．由e＝，即＝，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆方程可化为＋＝1.将A(2，3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．如题图所示，则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，所以P.又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.所以＝，所以＝，所以b＝2c.所以b2＝4c2，所以a2－c2＝4c2，所以＝.所以e＝＝.[B.能力提升]1．已知直线x＝t与椭圆＋＝1交于P，Q两点，若点F为该椭圆的左焦点，则使FP·FQ取得最小值时，t的值为()A．－B．－C.D.解析：选B.若P在x轴上方，则P(t，)，Q(t，－)，所以FP＝(t＋4，)，FQ＝(t＋4，－)，FP·FQ＝t2＋8t＋7，t∈(－5，5)，其对称轴为t＝－∈(－5，5)，故当t＝－时，FP·FQ取最小值．2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，B为上顶点，F为左焦点，A为右顶点，且右顶点A到直线FB的距离为b，则该椭圆的离心率为()A.B．2－C.－1D.－解析：选C.由题意知，A(a，0)，直线BF的方程为＋＝1...
