第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例A级基础巩固一、选择题1．炼油厂某分厂若要将原油精炼为汽油，则需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B.C．－1D．－8解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：C2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A.B.C.D．2解析：设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)．所以S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.答案：C3．某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁．要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为()A．16m，16mB．32m，16mC．32m，8mD．16m，8m解析：如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m．因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，L′＝2－.令L′＝0，解得x＝16或x＝－16(舍去)．易得x＝16为极小值点．因为L在(0，＋∞)上只有一个极值点，所以它必是最小值点．当x＝16时，＝32.故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省．答案：B4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝则总利润最大时，年产量是()A．100B．150C．200D．300解析：设年产量为x时，总利润为y，依题意，得y＝即y＝所以y′＝由y′＝0，得x＝300.经验证，当x＝300时，总利润最大．答案：D5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为()1A.cmB．100cmC．20cmD.cm解析：设高为xcm，则底面半径为cm，所以圆锥体积V＝π·(400－x2)·x＝(cm3)，V′＝，令V′＝0，得x＝或x＝(舍去)，经判断可得x＝(cm)时，V最大．答案：A二、填空题6．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5m，则当高为________m时，容器的容积最大．解析：设高为xm，则V＝x(x＋0.5)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0，1.6)，所以V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令V′＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．当00，当10，所以，当x＝8－4时，l取得最小值．此时，x＝8－4≈2.343，y≈2.828.即当x约为2.343，y约为2.828时，用料最省．10．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s，所以所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]．(2)由题意知s，a，b，v均为正数．令y...
