高考数学复习点拨 浅谈命题的否定及其应用VIP免费

浅谈命题的否定及其应用简易逻辑的引入，给同学们思考问题带来了逻辑思维的应用工具，否命题的应用及处理常被同学们忽视.下面就解题过程中，对常见命题否定的理解及应用问题举例如下.一、常见语句的否定①联言命题“1p且2p且…且np”的否定是“1p或2p或…或np”.②选言命题“1p或2p或…或np”的否定是“1p且2p且…且np”③“都是(所有的)”的否定是“不都是(存在一个)”而不是“都不是”④“至少有一个(n个)”的否定是“一个也没有(至多有n-1个)”⑤“至多有一个(n个)”的否定是“至少有两个(至少有n+1个)”⑥“对任意x∈A,使P(x)成立”的否定是“存在x∈A,使P(x)不成立”⑦“存在x∈A,使P(x)成立”的否定是“对任意x∈A,使P(x)不成立”二、常见否定命题的应用例1．写出下列命题的否命题(1)有些三角形是直角三角形;(2)所有的质数都是奇数.分析:(1)学生常易错误回答为“有些三角形不是直角三角形”.这是一个存在性命题,存在量词“有些”可以用“存在一个、至少有一个、某个”等词代替,故该命题的否命题为“所有三角形都不是直角三角形”.本题还可以写出它的逆否命题来判断原命题与否命题的真假.(2)学生常易错误回答为“所有质数都不是奇数”.这是一个全称命题,全称量词“所有的”可以用“任意的、对于一切、每一个”等词代替,故该命题的否命题为“存在一个质数不是奇数”或“所有的质数不都是奇数”.例2．若22fxxaxaa在[-1,1]上至少存在一点C使0fC,求实数a的取值范围.解：该题可利用其否命题来解.该命题的否命题是:22fxxaxaa在[-1,1]不存在点C使0fC即对任意x∈[-1,1],fx≤0.∴有1010ff解之得112aa或.故实数a的取值范围为12,1a.注:利用否命题来求解这一类问题,可以简化运算步骤,回避分类讨论.例3.设数列na、nb是公比不相等的两个等比数列,nnncab.证明:数列nc不是等比数列.分析:以下是一部份学生的解法,设数列na、nb是公比分别为p、q，p≠q，则用心爱心专心22211222222111111112nnnnnnnnncabapbqapbqabpq而22111111nnnnnnccapbqapbq222222222222111111nnnnnnapapbqapabpqpq∵p≠q22112,0pqpqab∴211nnnccc故数列nc不是等比数列.评析:“nc是等比数列”的含义是数列nc中如果从第二项起每一项与前一项的比均等于同一个常数，则称nc是等比数列.要证明数列nc不是等比数列,只需破坏命题中的“都是”即可.即需证明存在连续三项11,,nnnccc使211nnnccc.为此只需首先验证2213ccc,而标准答案就是如此.本题的证明主要考察学生对否命题的理解.例4.有三位运动员参加跳高比赛,他们能顺利跳过某个高度的概率依次是23、12、25，求这三人中至少有一人跳过这一高度的概率.解:“三人中至少有一人跳过这一高度”的对立事件(命题的否定)是“三人中没有一个跳过这一高度”，由于3个人跳高是相互独立事件，故所求概率为21219111113251010p.例5.已知:A=2|(2)240,xxaxaxR,B=22|(23)230,xxaxaaxR,若AB,求实数a的取值范围.分析:由题意,AB即两个方程2(2)240xaxa,与22(23)230xaxaa中,至少有一个方程有实数解.设全集为I=R,所求实数a的集合为A,则使上述两个方程均设无实数解的实数a的集合为I()ABð.由2(2)240xaxa，得22124(24)412aaaa由22(23)230xaxaa,得2222234(23)4821aaaaa∴22412048210aaaa解得:762a或322a.用心爱心专心即当762a或322a时,AB.∴所以所求AB的a的取值范围是73,6,2,22.规律概括:由于II,,AAIAAðð以及IIAAðð,因此在分析集合A的性质时,也可以通过分析IAð的性质即通过间接法来实现对问题的解决,这也反映了否命题应用的基本思想实质.用心爱心专心