2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则MG－AB＋AD等于()A.DBB．3MGC．3GMD．2MG解析：MG－AB＋AD＝MG－(AB－AD)＝MG－DB＝MG＋BD＝MG＋2MG＝3MG.答案：B2．下列五个命题()①|a|2＝a2；②＝；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中正确命题的序号是()A．①②③B．①④C．②④D．②⑤解析：②向量不能约分，故②错，③(a·b)2＝(|a||b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2cos2〈a，b〉，a2·b2＝|a|2·|b|2，故③错，⑤a·b＝0⇒a＝0或b＝0或a⊥b，故⑤错．故选B.答案：B3．已知非零向量a，b不共线，且其模相等，则a＋b与a－b的关系是()A．垂直B．共线C．不垂直D．以上都可能解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴a＋b与a－b垂直．答案：A4．已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为()A．－6B．6C．3D．－3解析：由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简向量表达式AB－CD＋BC－DA的结果为________．解析：AB－CD＋BC－DA＝－＝AC－CA＝2AC.答案：2AC6．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.(用a，b，c表示)解析：OE＝OA＋AE＝a＋AD＝a＋(OD－OA)＝a＋OD＝a＋×(OB＋OC)＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列表达式．(1)AB＋BB′－D′A′＋D′D－BC；(2)AC′－AC＋AD－AA′.解析：(1)AB＋BB′－D′A′＋D′D－BC＝AB＋BB′＋A′D′＋D′D－BC＝AB＋(BB′＋D′D)＋(A′D′－BC)＝AB.(2)AC′－AC＋AD－AA′＝CC′＋A′D＝DD′＋A′D＝A′D′.8.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：A1O－AB－AD；(2)设E是棱DD1上的点，且DE＝DD1，若EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试求x、y、z的值．解析：(1)∵AB＋AD＝AC，∴A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AC＝A1O－AO＝A1A.(2)∵EO＝ED＋DO＝D1D＋DB＝D1D＋(DA＋AB)＝A1A＋DA＋AB＝AB－AD－AA1，∴x＝，y＝－，z＝－.☆☆☆19．(10分)空间四边形OABC的各边和对角线都相等，D、E分别是AB、OC的中点，求异面直线OD与BE所成角的余弦值．解析：如图，不妨设空间四边形的边长为1，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝.∵D、E分别是AB、OC的中点，∴OD＝(a＋b)，BE＝c－b∴OD·BE＝(a＋b)·＝a·c－a·b＋b·c－b2＝×－×＋×－×1＝－.又∵|OD|＝|BE|＝，∴cos〈OD，BE〉＝＝－，即OD与BE的夹角余弦值为－，∴异面直线OD与BE的夹角为其补角，余弦值为.2
