不等式的证明(一)【知识点精讲】1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。②比商法：要证a>b且b>0，只须证0。说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。2.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。基本不等式：(1)若则当且仅当a=b时取等号。(2)(3)若则当且仅当时取等号若则当且仅当时取等号a,b同号,3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式,综合法是分析用心爱心专心1法的逆过程4.重点难点:作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由因导果”。5.思维方式:掌握证明不等式的常用方法，对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。6.特别注意:在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。【例题选讲】例1、已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>ab+a证明：p=a2+b2+1-ab-a==显然p>0∴得证[思维点拔]作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”.通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断例2、设求证用心爱心专心2【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。【证法一】左边-右边====∴原不等式成立。【证法二】左边>0，右边>0。∴原不等式成立。[思维点拔]用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二例3、已知a,b,x,y[思维点拔]观察特征,用比较法或分析法例4、设x>0,y>0且x≠y,求证用心爱心专心3证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明只需证即证只需证由条件,上式显然成立.∴原不等式成立[思维点拔]分析法证明不等式是“执果索因”,要注意书写的格式练习:.若a、b、c是不全相等的正数，求证：【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。【证法一】（综合法）：，，，又∵a、b、c是不全相等的正数，∴有。∴用心爱心专心4即【证法二】（分析法）要证即证成立。只需证成立。∵，，。∴（*）又∵a、b、c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立。∴原不等式成立。练习：设实数x.y满足y+x2=0,0
b，只须证a-b>0。②比商法：要证a>b且b>0，只须证0综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件分析法：要注意书写的格式,综合法是分析法的逆过程例2.已知a.b.c,且a+b+c=1,求证(1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c)用心爱心专心5
