高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 杨辉三角学业分层测评 新人教B版选修2-3-新人教B版高二选修2-3数学试题VIP免费

1.3.2杨辉三角(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项【解析】第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件.【答案】B2.已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是()A.5B.20C.10D.40【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，令10－3r＝1，解得r＝3，所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.【答案】C3.设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()A.2nB.C.2n＋1D.【解析】令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.【答案】D4.已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为()A.B.C.D.【解析】a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.【答案】A5.在(x－)2010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于()【导学号：62980029】A.23015B.－23014C.23014D.－23008【解析】因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23014.【答案】B二、填空题6.若(1－2x)2016＝a0＋a1x＋…＋a2016x2016(x∈R)，则＋＋…＋的值为________.【解析】令x＝0，得a0＝1.令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.1【答案】－17.若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________.【解析】7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.【答案】7或08.在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图135所示.那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051图135【解析】根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项C，C，C，有＝且＝.化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数.【答案】62三、解答题9.已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.【解】(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①(2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.10.已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数.【解】由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，得n＝8.8的展开式共有9项，其中T5＝C4(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为.[能力提升]1.若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝()A.1B.－1C.2D.－2【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10，故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(－1)10(＋1)10＝1.2【答案】A2.把通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)的数列{an}的各项排成如图136所示的三角形数阵.记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是()135791113151719……图136A.91B.101C.106D.103【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.【答案】B3.若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________.【解析】令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.【答案】54.已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的...