6．4平面向量的应用一、选择题1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．答案：D2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cosC＝()A.B．－C.D．－解析：由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝a，∴cosC＝＝＝－.答案：B3．河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．2m/sC．4m/sD．12m/s解析：由题意知|v水|＝2m/s，|v船|＝10m/s，作出示意图如右图．∴小船在静水中的速度大小|v|＝＝＝2(m/s)．答案：B4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，AC·AB＝5，则AC的长为()A．1B．2C．3D．4解析：因为BD＝AD－AB＝AC－AB，所以BD2＝2＝AC2－AC·AB＋AB2，即AC2＝1，所以|AC|＝2，即AC＝2.答案：B二、填空题5．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50(焦耳)．答案：506．若AB＝3e，DC＝5e，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状为________．解析：由AB＝3e，DC＝5e，得AB∥DC，AB≠DC，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.又|AD|＝|BC|，得AD＝BC，所以四边形ABCD为等腰梯形．答案：等腰梯形7．某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，∴BS＝＝3(km)．答案：3三、解答题8.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.证明：方法一设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0
c)．解析：(1)由题意知，f(x)＝2cos2x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋2cos，∴f(x)的最小正周期T＝π，∵y＝cosx在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，∴cos＝－1，又<2A＋<，∴2A＋＝π，∴A＝.∵AB·AC＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5，又b>c，∴b＝3，c＝2.
