课时分层作业(十)平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(建议用时：40分钟)一、选择题1．在△ABC中，若(CA＋CB)·(CA－CB)＝0，则△ABC()A．是正三角形B．是直角三角形C．是等腰三角形D．形状无法确定C[由条件知CA2＝CB2，即|CA|＝|CB|，即△ABC为等腰三角形．]2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为()A．30°B．60°C．90°D．120°D[由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，所以θ＝120°.]3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP＝OA＋(AB＋AC)，则|AP|等于()A．2B．1C．D．4B[设BC边的中点为M，则(AB＋AC)＝AM，∴OP＝OA＋AM＝OM，∴P与M重合，∴|AP|＝|BC|＝1.]4．若向量OF1＝(1,1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(5,0)B．(－5,0)C．D．－C[F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，则|F1＋F2|＝＝.]5．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝()A．1B．2C．3D．4A[建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)，则A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)，则AC＝(1，t)，BC＝(－1，t)．由AC⊥BC知AC·BC＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1.]二、填空题6．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为________J.1500[所做的功W＝60×50×cos30°＝1500(J)．]7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4.则点P的轨迹方程是________．x＋2y－4＝0[OP·OA＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，∴x＋2y－4＝0.]8．在四边形ABCD中，已知AB＝(4，－2)，AC＝(7,4)，AD＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．30[BC＝AC－AB＝(3,6)＝AD.又因为AB·BC＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD为矩形，所以|AB|＝＝2，|BC|＝＝3，所以四边形ABCD的面积S＝|AB||BC|＝2×3＝30.]三、解答题9．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．[解]设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b，而|BD|＝|a－b|＝＝＝＝2，所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以|AC|＝，即AC＝.10．河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为()A．13m/sB．12m/sC．17m/sD．15m/sA[设小船的静水速度为v1，河水的流速为v2，静水速度与河水速度的合速度为v，为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，即静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．]11．(多选题)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有()A．若OA＋OB＋OC＝0，则点O为△ABC的重心B．若OA·＝OB·＝0，则点O为△ABC的垂心C．若(OA＋OB)·AB＝(OB＋OC)·BC＝0，则点O为△ABC的外心D．若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O为△ABC的内心AC[选项A，设D为BC的中点，由于OA＝－(OB＋OC)＝－2·OD，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心．选项B，向量，分别表示在边AC和AB上取单位向量AC′和AB′，记它们的差是向量B′C′，则当OA·＝0，即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的平分线上，同理由OB·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心．选项C，OA＋OB是以OA，OB为邻边的平行四边形的一条对角线，而|AB|是该平行四边形的另一条对角线，AB·(OA＋OB)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA|＝|OB|，同理有|OB|＝|OC|，于是O为△ABC的外心．选项D，由OA·OB＝OB·OC得OA·OB－OB·OC＝0，∴OB·(OA－OC)＝0，即OB·CA＝0，∴OB⊥CA.同理可证OA⊥CB，OC⊥AB.∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心．故选AC．]12．(一题两空)如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40m的位移，F的大小为50N，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为________，力F做的功为________．25e1000J[ |F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°，∴F在小车位移上...
