第3课时椭圆及其标准方程基础达标(水平一)1.已知椭圆+=1(a>5)的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1,则△ABF2的周长为().A.10B.20C.2D.4【解析】因为a>5,所以该椭圆焦点在x轴上.又因为|F1F2|=8,所以a2=b2+c2=41.所以△ABF2的周长为4a=4.【答案】D2.椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O为坐标原点,则|ON|的值为().A.4B.2C.8D.【解析】由椭圆的定义,知|MF1|+|MF2|=2a=10,∴|MF2|=10-2=8.又O为F1F2的中点,N为MF1的中点,∴ON为△MF1F2的中位线,∴|ON|=|MF2|=4.【答案】A3.已知椭圆x2sinα-y2cosα=1(0≤α<2π)的焦点在y轴上,则α的取值范围是().A.B.C.D.【解析】因为椭圆x2sinα-y2cosα=1(0≤α<2π)的焦点在y轴上,所以所以<α<.【答案】D4.椭圆的两个焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积的最大值为12,则该椭圆的标准方程为().1A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】若△PF1F2的面积的最大值为12,则×8×b=12,所以b=3,a=5,即椭圆的标准方程为+=1.【答案】A5.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是.【解析】由题意得解得1b>0)上一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,若·=0.试求:(1)椭圆的标准方程;(2)sin∠PF1F2的值.【解析】(1)因为·=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,解得c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),2所以2a=|PF1|+|PF2|=+=12,所以a=6,b2=80.所以椭圆的标准方程为+=1.(2)因为PF1⊥PF2,所以=|PF1|·|PF2|=|F1F2|·yP=80,所以|PF1|·|PF2|=160.又因为|PF1|+|PF2|=12,且点P(6,8)在第一象限内,所以|PF2|=4,所以sin∠PF1F2===.拓展提升(水平二)8.已知P为椭圆+=1上的点,F1,F2为其两个焦点,则使∠F1PF2=90°的点P有().A.4个B.2个C.1个D.0个【解析】设点P(x,y),由·=0,得(x+2)(x-2)+y2=0.因为+=1,所以x2=-32,无意义,故不存在使∠F1PF2=90°的点P.【答案】D9.在△ABC中,点B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC的周长为10C1:y2=25②△ABC的面积为10C2:x2+y2=4(y≠0)③△ABC中,∠A=90°C3:+=1(y≠0)则满足条件①②③的点A的轨迹方程按顺序分别是().A.C3,C1,C2B.C2,C1,C3C.C1,C3,C2D.C3,C2,C13【解析】如图,在平面直角坐标系中,因为B(-2,0),C(2,0),若①△ABC周长为10,则|AB|+|AC|=6>4=|BC|,所以点A的轨迹为以B,C为焦点,长轴长为6的椭圆(去除与x轴的交点),方程为+=1(y≠0);若②△ABC的面积为10,设A到BC所在直线距离为d,则×|BC|×d=10,即×4d=10,d=5.所以|y|=5,y2=25,所以点A的轨迹方程为y2=25;若③△ABC中,∠A=90°,则|OA|=2,即=2,x2+y2=4(y≠0).所以满足条件①②③的点A的轨迹方程按顺序分别是C3,C1,C2.【答案】A10.已知椭圆E:+(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,∴①-②,得+=0,即=-.∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,而=kAB==,∴=.又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为+=1.【答案】+=1411.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.(1)求动点P的轨迹方程.(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P,使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得·=-,化简得x2+3y2=4(x≠±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).(2)设点P的坐标为(x0,y0),点M,N的坐标分别为(3,yM),(3,yN),则直线AP的方程为y-1=(x+1),直线BP的方程为y+1=(x-1),令x=3,得yM=,yN=,所以△PMN的面积S△PMN=|yM-yN|(3-x0)=,又直线AB的方程为x+y=0,|AB|=2,点P到直线AB的距离d=,所以△PAB的面积S△PAB=|AB|·d=|x0+y0|,当S△PAB=S△PMN时,得|x0+y0|=,又|x0+y0|≠0,所以(3-x0)2=|-1|,解得x0=.又因为+3=4,所以y0=±.5故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为.6
