42归纳与类比推理1．已知x>0，观察不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，由此可得一般结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为________．答案nn解析根据已知，续写一个不等式：x＋＝＋＋＋≥4＝4，由此可得a＝nn.2．在平面内点O是直线AB外一点，点C在直线AB上，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝1；类似地，如果点O是空间内任一点，点A，B，C，D中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若DO＝xOA＋yOB＋zOC，则x＋y＋z＝________.答案－1解析在平面内，由三角形法则，得AB＝OB－OA，BC＝OC－OB.因为A，B，C三点共线，所以存在实数t，使AB＝tBC，即OB－OA＝t(OC－OB)，所以OC＝－OA＋(＋1)OB.因为OC＝λOA＋μOB，所以λ＝－，μ＝＋1，所以λ＋μ＝1.类似地，在空间内可得OD＝λOA＋μOB＋ηOC，λ＋μ＋η＝1.因为DO＝－OD，所以x＋y＋z＝－1.3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，…，则52014的末四位数字为________．答案5625解析由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125，故周期T＝4.又由于2014＝503×4＋2，因此52014的末四位数字是5625.4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.答案123解析记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11；f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123，即a10＋b10＝123.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________．答案正四面体的内切球的半径是其高的解析设正四面体的每个面的面积是S，高是h，内切球半径为R，由体积分割可得：SR×4＝Sh，所以R＝h.6．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为______________．答案(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)解析由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n－1)．7．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝n2＋n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝n2－n，六边形数N(n,6)＝2n2－n………………………………………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________________________________________________________________________.答案1000解析由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，∴N(10,24)＝×100＋×10＝1100－100＝1000.8．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时有相应正确关系为sinα＋sin(α＋)＋sin(α＋)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________________________．答案sinα＋sin(α＋)＋sin(α＋π)＋sin(α＋)＝0解析由类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋与α＋的终边互为反向延长线，如图．9．(2013·陕西)观察下列等式12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为________．答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.10．如图1是一个边长为1的正三角形...
