【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第1章坐标系1.4学业分层测评北师大版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.如图241为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当∠AOB＝时，圆的渐开线上的点M到基圆上B点的距离为()图241A.B.C.D.π【解析】由圆的渐开线的形成过程知|BM|＝＝×2＝.【答案】B2.摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是()A.(π－2,2)，(3π＋2,2)B.(π－3,2)，(3π＋3,2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2,2)，(2π＋2,2)【解析】由2＝2(1－cost)得cost＝0. t∈0,2π)，∴t1＝，t2＝.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2).【答案】A3.圆的渐开线方程为(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为()A.(－2,2π)B.(－2，－2π)C.(4,2π)D.(－4,2π)【解析】把φ＝π代入得x＝－2，y＝－2π.【答案】B4.已知一个圆的参数方程为(α为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为()【导学号：12990033】A.－1B.C.D.【解析】根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(α为参数)，把α＝代入参数方程中可得即A点的坐标为，∴|AB|＝＝.【答案】C5.半径为2的基圆的渐开线方程是()A.1B.C.D.【解析】由圆的渐开线参数方程可知D正确.【答案】D二、填空题6.已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________.【解析】圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.【答案】27.我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(α为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________.【解析】关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换.【答案】(α为参数)8.已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________.【解析】由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数).当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2).【答案】(π，2)三、解答题9.有一轮子沿着直线轨道滚动，轮子的半径为r，在轮幅上有一点P与轮子中心的距离为a(a＜r)，点P的轨迹叫作短摆线，求它的参数方程.【解】设圆滚动所沿直线为x轴，圆心和P点连线为y轴建立坐标系，圆滚动α角后圆心在B且与x轴切于点A，作PD⊥Ox，PC⊥BA，垂足分别为D，C，那么OA＝MA＝rα，设P点坐标为(x，y)，则∴所求参数方程为10.渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，求得到的曲线的焦点坐标.【解】根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆.c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0).能力提升]21.已知平摆线的参数方程(α为参数)，则摆线上的点(4π，0)对应的参数α的值是()A.πB.2πC.4πD.3π【解析】因由②得cosα＝1，∴α＝2kπ(k∈Z).代入①得2(2kπ－sin2kπ)＝4kπ(k∈Z)，即2kπ＝2π(k∈Z)，所以取k＝1，此时α＝2π，因此点(4π，0)对应的参数值为α＝2π.【答案】B2.如图242，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH的长是()【导学号：12990034】图242A.3πB.4πC.5πD.6π【解析】根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.【答案】C3.已知平摆线的方程为(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________.【解析】由已知方程可化为知基圆半径为r＝1，∴拱高为2r＝2，周期为2π.【答案】22π4.已知圆C的参数方程是(α为参数)和...
