1.4不等式的证明（三）一、选择题1.已知p＝a＋，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则()A.p>qB.p0，∴p≥2＋2＝4，而q＝2－(a－2)2＋2，根据a>2，可得q<22＝4，∴p>q.答案A2.不等式a>b与>能同时成立的充要条件是()A.a>b>0B.a>0>bC.<<0D.>>0解析充分性显然.下面用反证法说明必要性.若a，b同号且a>b，则有<，此时不能保证a>b与>同时成立，∴a，b只能异号，即a>0>b.答案B3.若f(x)＝，a，b都为正数，A＝f，G＝f()，H＝f，则()A.A≤G≤HB.A≤H≤GC.G≤H≤AD.H≤G≤A解析∵a，b为正数，∴≥＝≥＝，又∵f(x)＝为单调减函数，∴f≤f()≤f，∴A≤G≤H.答案A4.设M＝＋＋＋…＋，则()A.M＝1B.M<1C.M>1D.M与1大小关系不定解析M是210项求和，M＝＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝1，故选B.答案B5.若实数m>n，正数a>b，A＝(an＋bn)m，B＝(am＋bm)n，则()A.A>BB.Ab>0，∴0<<1.又m>n，∴>，∴amn>amn，即A>B，故选A.答案A6.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，则a，b，c三数()A.全为正数B.至多有两个为正数C.至多有一个为正数D.全为负数解析假设a，b，c不全为正数，1∵abc>0，∴有两个负数一个正数，不妨设a，b为负数，c为正数，∵a＋b＋c>0，c>－(a＋b)>0，又∵ab＋bc＋ca>0，ab>－(bc＋ca)＝－c(a＋b)≥(a＋b)2，这与(a＋b)2≥4ab矛盾，故假设错误，∴a，b，c全为正数.选A.答案A二、填空题7.已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是____________.解析m＝≤＝1，n＝≥＝1.答案m≤n8.若|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是________________.解析当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2；当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.综上，|a＋b|＋|a－b|<2.答案|a＋b|＋|a－b|<2三、解答题9.设x>0，y>0，z>0，求证：＋>x＋y＋z.证明∵＝>x＋，①＝>z＋，②∴由①②得：＋>x＋y＋z.10.若a＞0，b＞0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.解(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立.故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立.所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.11.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a，b，c中至少有一个大于.证明∵abc＝1>0，∴a，b，c都为正，或者a，b，c中有一正二负.又a＋b＋c＝0，∴a，b，c中只能是一正二负.不妨设a>0，b<0，c<0，则b＋c＝－a，bc＝，即b，c为方程x2＋ax＋＝0的两个负实根，∴Δ＝a2－≥0，解得a≥>＝，∴a，b，c中至少有一个大于.12.已知：a，b，c，d，∈(0，＋∞)，求证：＋≥.证明法一如图所示，在Rt△ABC中，设AC＝c＋a，其中CE＝c，EA＝a；2BC＝b＋d，其中CF＝b，FB＝d.由勾股定理得：AB＝，以CE与CF为邻边作矩形CEPF，并连接AP与BP.则在Rt△AEP与Rt△BFP中分别有：AP＝；BP＝.若点P在线段AB上，则AP＋BP＝AB；①若点P不在线段AB上，则AP＋BP>AB；②故，由①，②可知：AP＋BP≥AB.即＋≥.法二设OA＝(a，b)，OB＝(c，d)，则OC＝OA＋OB＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)，所以，|OA|＝，|OB|＝，|OC|＝.若OA与OB共线同向时，则有：|OA|＋|OB|＝|OC|①若OA与OB共线反向或不共线时，则有：|OA|＋|OB|>|OC|，②故由①，②可知：|OA|＋|OB|≥|OC|，即＋≥.3
