第1课时曲线与方程基础达标(水平一)1.若直线x-2y-2k=0与2x-y-k=0的交点在曲线x2+y2=9上,则k=().A.±3B.0C.±2D.一切实数【解析】两直线的交点为(0,-k),由已知,点(0,-k)在曲线x2+y2=9上,故可得k2=9,所以k=±3.选A.【答案】A2.下列图中曲线与方程对应正确的是().A.x2+y2=1B.x2-y2=0C.lgx+lgy=0D.y=|x|【解析】对于选项A,方程x2+y2=1表示的是以(0,0)为圆心,1为半径的圆,故选项A错;对于选项B,方程x2-y2=0可化为(x-y)·(x+y)=0,此方程表示两条直线x-y=0,x+y=0,故选项B错;对于选项C,方程lgx+lgy=0可化为y=(x>0),此方程只表示第一象限的部分,故选项C错;对于选项D,方程y=|x|去绝对值得y=此方程表示两条射线,故选D.【答案】D3.方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是().1【解析】由xy<0,结合选项知选B.【答案】B4.已知0≤α≤2π,点P(cosα,sinα)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为().A.B.C.或D.或【解析】将点P的坐标代入曲线(x-2)2+y2=3中,得(cosα-2)2+sin2α=3,解得cosα=.因为0≤α≤2π,所以α=或α=.【答案】C5.动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线互相垂直,则动点P的轨迹方程是.【解析】结合题意得kPA·kPB=-1.设点P(x,y),则由·=-1,得x2+y2=1.又点P与A,B两点不重合,则动点P的轨迹方程为x2+y2=1(x≠±1).【答案】x2+y2=1(x≠±1)6.如图,在平面直角坐标系中,已知动点P(x,y),PM⊥y轴,垂足为M,点N与点P关于x轴对称,且·=4,则动点P的轨迹方程为.【解析】依题意可知,点M,点N的坐标分别为M(0,y),N(x,-y),∴=(x,y),=(x,-2y).由·=4,得点P的轨迹方程为x2-2y2=4.【答案】x2-2y2=47.在等腰△ABC中,若底边两端点坐标分别是B(4,2),C(-2,0),求顶点A的轨迹方程.【解析】设点A(x,y),显然A不能是BC的中点,故x≠1,因为|AB|=|AC|,所以=,化简得3x+y-4=0.所以点A的轨迹方程是3x+y-4=0(x≠1).拓展提升(水平二)8.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是().A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=12C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1【解析】设点C,点P的坐标分别为C(x0,y0),P(x,y),则所以代入圆的方程得(2x-3)2+4y2=1.故选C.【答案】C9.如图,在△ABC中,已知A(-,0),B(,0),CD⊥AB于点D,△ABC的垂心为H,且=2,则点H的轨迹方程为.【解析】设点H的坐标为(x,y),点C的坐标为(x,m),则D(x,0),=(0,-m),=(0,y-m),又=2,∴-m=2(y-m),即m=2y,故点C的坐标为(x,2y).∵·=0,∴(x+,2y)·(x-,y)=0,化简得x2+2y2=2,故点H的轨迹方程为+y2=1(y≠0).【答案】+y2=1(y≠0)10.曲线y=-与曲线y+|ax|=0(a∈R)的交点个数为.【解析】由得-|ax|=-,即(a2+1)x2=1,解得x1=,x2=-,将x1,x2代入y=-|ax|,得y=-,所以它们有2个交点.【答案】2311.求到两个不同定点距离之比为常数λ(λ>0)的动点的轨迹.【解析】以两个不同定点A,B所在的直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是轨迹上任意一点,A(-a,0),B(a,0),a>0.由题设得|PA|=λ|PB|(λ>0),即=λ,化简得(1-λ2)(x2+y2+a2)+(1+λ2)2ax=0.当λ=1时,方程x=0表示一条直线;当λ>0且λ≠1时,方程可化为+y2=,它表示一个圆.∴当λ=1时,动点的轨迹是一条直线;当λ>0且λ≠1时,动点的轨迹是一个圆.4
