考查角度1空间几何体的三视图、表面积与体积分类透析一三视图与直观图的识别与还原例1(1)图①是一个正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此几何体的俯视图如图②所示,则可以作为其正视图的是().(2)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为().A.1B.❑√2C.❑√3D.2解析(1)由题意,结合该几何体的直观图和俯视图知,其正视图的长应为底面正方形的对角线长,高应为正方体的棱长,故排除B,D,在三视图中看不见的棱用虚线表示,故排除A,选C.(2)由题中三视图知,此四棱锥的直观图如图所示,其中侧棱SA⊥底面ABCD,且底面是边长为1的正方形,SA=1,所以四棱锥最长棱的棱长为SC=❑√3,故选C.答案(1)C(2)C方法技巧(1)解决空间几何体的三视图问题,能否回归到正方体(或长方体),是求解问题的关键,要在正方体(或长方体)中寻找已知三视图所对应的空间几何体;(2)对于简单几何体的组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置.分类透析二根据三视图求解几何体的表面积与体积例2(1)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是().A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2(2)已知某几何体的三视图如下图所示,其中正(主)视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为().A.24-3π2B.24-π3C.24-πD.24-π2解析(1)由三视图画出几何体的直观图,如图所示,则此几何体的表面积S=S1-S正方形+S2+2S3+S斜面,其中S1是长方体的表面积,S2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积,S3是三棱柱的一个底面的面积,则S=(4×6+3×6+3×4)×2-3×3+3×4+2×12×4×3+5×3=138(cm2).故选D.(2)由三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱.长方体的长,宽,高分别为3,2,4.则长方体的体积为3×2×4=24.半圆柱的高为3,半圆柱的体积为12×π×3=3π2,所以几何体的体积为24-3π2.答案(1)D(2)A方法技巧由几何体的三视图求几何体的表面积和体积,通常情况下先将三视图转化为其几何体的直观图,然后将三视图中的数据代入公式进行计算.分类透析三柱体、锥体、台体的表面积与体积例3(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为❑√3,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为().A.3B.32C.1D.❑√32(2)《九章算术》商功章有题:一圆台形谷仓,谷仓口直径为六尺,谷仓底直径为一丈八尺,谷仓高一丈八尺,若谷仓屯米高九尺,则谷仓屯米约为().(斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,1丈=10尺,π≈3)A.650斛B.950斛C.1950斛D.2850斛解析(1)由题意可知AD⊥BC,由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1,又AD=2sin60°=❑√3,所以VA-B1DC1=13×AD×S△B1DC1=13×❑√3×(12×2×❑√3)=1.故选C.(2)圆台的轴截面如图所示,G,H,F分别为CB,DA,BA的中点,E为GH的中点,由题意得,GB=3尺,HA=9尺,GH=18尺,EH=9尺,所以EF=12(HA+GB)=6尺,所以谷仓屯米的体积为V=13×9×π×(36+6×9+81)=513π≈513×3=1539(立方尺).因为1539÷1.62=950,所以谷仓屯米约为950斛.故选B.答案(1)C(2)B方法技巧(1)求解空间几何体的体积的关键是确定几何体的形状以及线面的位置关系和尺寸,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.分类透析四球的接切问题例4已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为().A.❑√26B.❑√36C.❑√23D.❑√22解析如图所示,根据球的性质,知OO1⊥平面ABC,则OO1⊥O1C.在直角△OO1C中,OC=1,O1C=❑√33,所以OO1=❑√OC2-O1C2=❑√1-(❑√33)2=❑√63.因此三棱锥S-ABC的体积V=2VO-ABC=2×13×❑√34×❑√63=❑√26,故选A.答案A方法技巧求解球的表面积和体积关键需要求出半径;与组合体有关的解答关键是要明确组合体是“切”还是“接”,然后明确多面体的某一几何量与球的半径之间的关系,再运用相关的知识求解,特别要注意利用球的截面性质.1.(2018年全国Ⅰ卷,文9改编)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点,则蚂蚁所经过路程的最小值为...
