课时跟踪检测（四十六）曲线与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x解析：选A设点P(x，y)，则Q(x，－1)． QP·QF＝FP·FQ，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹方程为x2＝4y.2．方程x＝所表示的曲线是()A．双曲线的一部分B．椭圆的一部分C．圆的一部分D．直线的一部分解析：选Bx＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．3．(2018·奉化期末)已知△ABC中，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，则△ABC的重心G的轨迹方程为()A．y＝x2－1B．y＝9x2＋12x＋3C．y＝3x2＋4x＋1D．y＝3x2＋1解析：选B设△ABC的重心G(x，y)，C(x1，y1)，则有x＝，y＝，所以有x1＝3x＋2，y1＝3y＋2，因为点C在曲线y＝3x2－1上移动，所以有3y＋2＝3(3x＋2)2－1，化简得y＝9x2＋12x＋3.4．(2019·韶关模拟)设M是圆O：x2＋y2＝9上的动点，直线l过M且与圆O相切，若过A(－2,0)，B(2,0)两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是()A.－＝1(y≠0)B.－＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)解析：选C设A，B两点到直线l的距离分别为d1，d2，则d1＋d2＝2r＝6，又A，B两点在抛物线上，由定义可知|AF|＋|BF|＝6＞|AB|，所以由椭圆定义可知，动点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为6，焦距为4的椭圆(不包括与x轴的交点)．则a＝3，c＝2，b＝，故抛物线焦点F的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．5．已知定点A(4,0)和圆x2＋y2＝4上的动点B，动点P(x，y)满足OA＋OB＝2OPOP，则点P的轨迹方程为___________；该轨迹所围区域的面积为________．解析：设B(x0，y0)，由得代入圆方程得(2x－4)2＋4y2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.该轨迹是以(2,0)为圆心，半径为1的圆，所以所围区域的面积为π.答案：(x－2)2＋y2＝1π二保高考，全练题型做到高考达标1．已知方程ax2＋by2＝1的曲线经过点(0,2)与(1，)，则a＋b为()A.B.C.1D.解析：选B由题意得解得∴a＋b＝，故选B.2．(2018·嘉兴一中质检)若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是()A．任意实数a，方程表示椭圆1B．存在实数a，方程表示椭圆C．任意实数a，方程表示双曲线D．存在实数a，方程表示抛物线解析：选B当a＞0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.3．(2018·江西金太阳联考)过点A(0,1)作直线与圆(x－2)2＋y2＝1交于B，C两点，在线段BC上取满足BP∶PC＝AB∶AC的动点P的轨迹是一条直线l的一部分，则轨迹的长度为()A.B.C.D.解析：选D由题意知，过点A的直线斜率存在且不为0.设过点A(0,1)的直线方程为y＝kx＋1，联立圆的方程整理得(1＋k2)x2＋(2k－4)x＋4＝0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，P(x，y)，则x1＋x2＝，x1x2＝，由BP∶PC＝AB∶AC，得＝，所以x＝＝，y＝kx＋1＝，消去k，得直线l的方程为2x－y－3＝0，根据弦长公式得轨迹长为.4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析：选D因为M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，所以椭圆的方程为＋＝1.5．(2019·临汾模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆C上关于长轴对称的两点，若直线AM与BN相交于点P，则点P的轨迹方程是()A．x＝±a(y≠0)B．y2＝2b(|x|－a)(y≠0)C．x2＋y2＝a2＋b2(y≠0)D.－＝1(y≠0)解析：选D由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，设M(x0，y0)，N(x0，－y0)，y0≠0，P(x，y)，y≠0，则直线PA的斜率k＝，则直线PA的方程为y＝(x＋a)，①同理，直线PB的斜率k＝，直线PB的方程为y＝(x－a)，②①②相乘得y2＝(x2－a2)，由＋＝1，得y＝(a2－x)，则y2＝(x2－a2)，整理得－＝1(a＞b＞0，y≠0)，故点P的轨迹方程是－＝1(a＞b＞0，y≠0)．6．已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的...
